1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

3. Dereceden Denklemler Cardano Formülleri konusu

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve ~meLek~ tarafından 13 Ekim 2013 başlatılmıştır.

  1. ~meLek~
    Cadı

    ~meLek~ GalataSaray'ım

    Katılım:
    15 Temmuz 2013
    Mesajlar:
    3.052
    Beğenileri:
    188
    Ödül Puanları:
    3.330
    Cinsiyet:
    Bayan
    Meslek:
    Öğrenci (:
    Yer:
    Napcan geLcenmi ki?
    Banka:
    109 ÇTL
    Birinci ve ikinci dereceden denklemler katsayılar yardımıyla kolayca çözülebilir. Yalnız 3.dereceden denklemlerin çözümü için Gerolamo Cardanonun 1545 yılında geliştirdiği bir yöntemden yararlanabiliriz. Cardano bu yöntemi bulurken Tartoglia ve Fior isimli matematikçilerin çalışmalarından da yararlanmıştır.
    Çözüm yöntemi aşağıda belirtildiği gibidir.

    3. Dereceden Denklemlerin Çözülmesi, Cordano Formülleri

    Üçüncü dereceden
    ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminde bazı dönüşümler yaparak sonuca ulaşacağız.
    Eğer bu denklemde x = y - dönüşümü yapılırsa
    denklemi,
    y3 + halini alır.

    p = q = olmak üzere y3 + py + q = 0 şeklinde yeni bir dönüşüm yapmış olduk. Şimdi de bu denklemi çözmemiz gerekecek. Bunun için de ilk olarak y = dönüşümü yapıyoruz. Yeni dönüşümümüzle beraber y3 + py + q = 0 denklemi düzenlenirse;
    şeklini alır.
    ve bilinmeyenleri içeren bu yeni denklemde de . = dönüşümünü yaparak yerine yazıyoruz. Üstteki denklemin yerini = -q. = sistemi almış oldu.

    Son olarak
    = N dönüşümüyle
    M + N = -q, M.N = M ve N bilinmeyenler olmak üzere z2 + qz = = 0 denklemini elde ettik. Bu denklemin kökleri de 2.dereceden denklem çözümünden; olur.

    = M olduğundan
    = 0
    = 0 Buradan
     = 0  ve
     = 0,

    olmalı.
    Benzer şekilde: ,, bulunur.
    y = + olmak üzere toplayacağım ve değerleri
    . = koşulunu sağlamalıdır.
    görüldüğü gibi ve değerleri sağladı. Buda demektir köklerden biri y1 = + olacaktır.

    değerleri alınırsa iken
    olur
    ve
    olur
    Buna göre

    y = + olduğundan
    y1 =
    y2 =
    y2 = bulunur. Yani

    y1 =
    y2 =
    y3 =

    Burada M =
    N = idi.
    Burada  = 4p3 + 27q2 işaretine göre köklerin durumunu inceleyebiliriz.

    i)  = 4p3 + 27q2 > 0 ise:
    M ve N birer gerçel sayıdır

    dolayısıyla
    y1 = kökü bir gerçel sayı

    diğer iki kök ise eşlenik kompleks iki sayıdır.

    ii)  = 0 ise:
    M ve N = olur. Dolayısıyla
    y1 = (Gerçel sayı)
    y2 = y3 = (Gerçel sayı)
    Yani 3 kök de gerçel sayı olur.

    iii)  = 4p3 + 27q2 < 0 ise:
    M ve N eşlenik kompleks iki sayı olur.
    Bu durumda Cardano formüllerinde bulduğumuz y1

    y2

    y3 köklerinde bir gerçel sayı

    ise gerçel kısmı 0 olan bir kompleks sayı olacağından y1

    y2 ve y3 kökleri birer gerçel sayıdır.


    y3 + py + q = 0 denkleminin kökleri y1

    y2 ve y3 bu şekilde bulunduktan sonra x = y - dönüşümü kullanılarak ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri bulunur.
     

Sayfayı Paylaş