1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Açık Gönderim Teoremi (Karmaşık Analiz)

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve ZeyNoO tarafından 24 Kasım 2011 başlatılmıştır.

  1. ZeyNoO
    Melek

    ZeyNoO ٠•●♥ KuŞ YüreKLi ♥●•٠ AdminE

    Katılım:
    5 Ağustos 2008
    Mesajlar:
    58.480
    Beğenileri:
    5.787
    Ödül Puanları:
    12.080
    Cinsiyet:
    Bayan
    Meslek:
    Muhasebe
    Yer:
    ❤ Şehr-i İstanbul ❤
    Banka:
    3.079 ÇTL
    Açık Gönderim Teoremi (Karmaşık Analiz)

    Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin bağlantılı açık bir altkümesiyse ve f : U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin açık gönderim olduğunu ifade eder (yani U 'nun açık altkümelerini C 'nin açık altkümelerine gönderir).
    Açık gönderim teoremi, holomorfi ve gerçel türevlenebilirlik arasındaki keskin farkı ortaya koyar. Mesela, gerçel sayılar üzerinde, f(x) = x2 türevlenebilir fonksiyonu açık bir gönderim değildir çünkü (-1,1) açık aralığının görüntüsü [0,1) yarıaçık aralığıdır.
    Teorem, örneğin, sabit olmayan bir holomorf fonksiyonun açık bir diski bir doğrunun parçasına örten bir şekilde gönderemeyeceğini gösterir.

    Kanıt
    Mavi noktalar g(z) 'nin sıfırlarını göstermektedir. Sivri siyah şekiller kutupları temsil etmektedir. U açık kümesinin sınırı kesik çigilerle gösterilmektedir. Burada bütün kutuplar açık kümenin dışındadır. Daha küçük olan kırmızı çember kanıtta kurulan B kümesidir.


    f:U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyon olsun ve U karmaşık düzlemin bağlantılı bir açık altkümesi olsun. f(U)'daki her noktanın f(U)'nun bir iç noktası olduğunu göstermeliyiz; yani f(U) içindeki her noktanın f(U) içinde yer alan bir diskin içinde olduğunu göstermeliyiz.
    U içinde rastgele bir z0 noktasını alalım. U açık olduğu için, bir d > 0 bulabiliriz öyle ki z0 etrafında, d yarıçaplı B kapalı diski tamamen U içinde yer alır. U bağlantılı olduğu ve f, U üzerinde sabit olmadığı için, f 'nin B üzerinde sabit olmadığını biliyoruz. Görüntü noktası w0 = f(z0) 'ı ele alalım. f(z0) − w0 = 0 olur ve z0, g(z) = f(z) − w0 fonksiyonunun kökü olur.

    g(z) 'nin sabit olmadığını biliyoruz ve d yi daha da azaltarak g(z) 'nin B içinde tek bir kökü olmasını sağlayabiliriz. (Sabit olmayan holomorf fonksiyonların kökleri izoledir.) e, B 'nin sınırındaki z değerleri için |g(z)| 'nin minimum değeri olsun (pozitif sayı). (B 'nin sınırı çemberdir ve bu yüzden tıkız kümedir. |(g(z)| sürekli fonksiyondur. Böylece, ekstremum değer teoremi bu minimumun varlığını kanıtlar.) w0 etrafındaki e yarıçaplı diski D ile gösterelim. Rouché teoremi, w0 'a uzaklığı e 'den az olan her w için g(z) = f(z) − w0 ve f(z) − w 'nin B içinde aynı sayıda köke sahip olacağını ifade eder. Bu yüzden, D içindeki her w için, B 'de f(z1) = w olacak şekilde sadece bir tane z1 vardır. Bu da, D diskinin f(U) 'nun altkümesi olan f(B) 'de yer aldığı anlamına gelir.
     

Sayfayı Paylaş