Apéry sabiti

Suskun

V.I.P
V.I.P
Katılım
16 Mrt 2009
Mesajlar
23,140
Beğeniler
322
Şehir
Türkiye
#1

Kullanılan sayılar
γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
İkilik sistem 1.001100111011101...
Onluk sistem 1.2020569031595942854...
Sonsuz kesir olarak yazılışı


Apéry sabiti, matematiğin gizemli sayılarından biridir. Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır. Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir. Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.



Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu sayının yaklaşık değeri


Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir.

Apéry teoremi

Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir. Bu sonuç, Apéry teoremi olarak adlandırılır. Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir. Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir.

Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2n+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştir. Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur.

Seri şeklinde yazılışı

Leonhard Euler (Euler 1773) 1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir (Srivastava 2000, s. 571 (1.11)):



Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur.

Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir. Bunlar, (Plouffe 1998):


ve



ifadeleridir.

ζ(2n + 1)'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır.

Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır:














 

Suskun

V.I.P
V.I.P
Katılım
16 Mrt 2009
Mesajlar
23,140
Beğeniler
322
Şehir
Türkiye
#2
ve



Burada,



Bu ifadelerden bazıları Apéry sabitinin birkaç milyon basamağa kadar hesaplanmasında kullanılmıştır.

(Broadhurst 1998)'ün sağladığı seri açılımı ikili sayı sisteminde çalışmaktadır. Bu, sabitin doğrusal zamanda hesaplanabilmesine olanak tanımaktadır.


Diğer formüller

Apéry sabiti ikinci dereceden bir poligamma fonksiyonu ile de ifade edilebilmektedir.



Bilinen basamakları

Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı son yıllarda büyük bir artış göstermiştir. Bu, bilgisayarların gelişen başarımı ve daha verimli algoritmaların üretilmiş olmasının bir sonucudur.

Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı
Tarih ......... Basamak sayısı .................. Hesaplamayı Yapan Kişi
Ocak 2007.. 2,000,000,000 .. Howard Cheng, Guillaume Hanrot, Emmanuel Thomé, Eugene Zima & Paul Zimmermann
Nisan 2006 .. 10,000,000,000 .. Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
Şubat 2003 .. 1,000,000,000 .. Patrick Demichel & Xavier Gourdon
Şubat 2002 .. 600,001,000 .. Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Eylül 2001 .. 200,001,000 .. Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
Aralık 1998 .. 128,000,026 ..Sebastian Wedeniwski (Wedeniwski 2001)
Şubat 1998 .. 14,000,074 ..Sebastian Wedeniwski
Mayıs 1997 .. 10,536,006 .. Patrick Demichel
1997.. 1,000,000 .. Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1996 .. 520,000 .. Greg J. Fee & Simon Plouffe
1887 ..32.. Thomas Joannes Stieltjes
Bilinmiyor .. 16 ..Adrien-Marie Legendre





 
Top