1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Cebirin Temel Teoremi

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve Suskun tarafından 28 Kasım 2010 başlatılmıştır.

  1. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL

    Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır

    Teoremin açık bir ifadesi şöyledir:

    Katsayıları karmaşık olan ve sabit olmayan tek değişkenli her polinomun en az bir (karmaşık) kökü vardır.

    Sonuç olarak, katsayıları tamsayı, rasyonel sayı veya gerçel sayı olan ve sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır; çünkü tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar da aslında birer karmaşık sayıdır. Bu sonuç elde edildikten sonra, her polinomun karmaşık sayılar cismi olan \mathbb{C} 'de çarpanlarına ayrılabileceği görülebilir; yani daha doğru bir şekilde dile getirilirse, her polinom derecesi kadar sayıda doğrusal fonksiyonların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal fonksiyonların üniter olması isteniyorsa bu çarpımın başına bir karmaşık sayı eklenir. Polinom bu son anlatılan şekilde çarpanlarına ayrılmaya çalışılırsa, böyle bir ayırma tek bir şekilde yapılabilir. Matematiksel bir dille şu ifade edilmektedir: Eğer[​IMG]ise ve
    [​IMG]
    n dereceli bir polinomsa,
    [​IMG]

    eşitliği yazılabilir ve bu eşitliğin bu şekilde yazılabilmesi sadece tek bir şekilde yapılabilir. Bu şekilde yazıldıktan sonra, polinomun köklerinin[​IMG] olacağı açıktır. Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir.

    Cebirin temel teoremi, her ne kadar cebirin ve teoremin kanıtlanmasından sonra üretilmiş matematiğin büyük bir bölümünün geliştirilmesinde önemli bir yere sahipse de, isminin içerdiği cebir kelimesi teoremi dar bir alana sokmamalıdır. Zira, bu teoremin tamamen cebirsel olan bir kanıtı bile yok gibidir. Teoremin bu isimle anılmasının sebebi teoremin kanıtlandığı dönemde cebirin kendini "denklemler kuramı" yani polinomların çözümüyle uğraşan bir kuram olarak tanımlamasıdır. Ancak, kanıtın yapıldığı zamandan bu yana cebirin kapsamına giren fikirler artmışsa da teoremin ismi değişmeden kalmıştır.

    Teorem, kendine matematiğin içinde oldukça geniş bir uygulama bulmuştur. Örneğin, doğrusal cebirde özyapı dönüşümlerinin indirgenmesinde önemli bir yere sahiptir. Yine analizde, rasyonel fonksiyonların ayrışımında ve daha bir çok teoremin kanıtında kullanılmaktadır.


    Teoremin dengi ifadeleri
    Cebirin temel teoreminin birbirine denk olan değişik ifadeleri mevcuttur:

    Bunlardan ilki yukarıda da verilen ifadedir: ---Sabit olmayan ve katsayıları karmaşık olan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır.

    Örneğin, 1+i karmaşık sayısı X4 + 4 polinomunun bir köküdür. Bu halde, teorem P(X) polinomunun bir kökünün varolduğunu ifade eder; ancak bu kökün nasıl bulunacağını açıklamaz. Köklerin varlığı ilgili bu ifade aslında karmaşık sayılar cisminin bir özelliğini de tanımlamaktadır. Katsayılarını bir F cisminden alan, tek değişkenli ve derecesi en az 1 olan her polinomun yine bu F cismi içinde bir kökü varsa, F cismine cebirsel kapalı cisim adı verilir . Teorem bu yüzden şu şekilde de ifade edilebilir:

    C cismi cebirsel kapalı bir cisimdir.

    Bu sonuç, aynı zamanda bir polinomun bölünmesi bağlamında da, yani karmaşık katsayılı çarpanlarının çarpımına eşit olması anlamında da ifade edilebilir:

    Karmaşık değişkenli her polinom bölünebilir; yani derecesi 1 olan ve karmaşık katsayılara sahip polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.

    Teorem, derecesi n olan ve karmaşık katsayılı anXn +... + a1X + a0 şeklindeki polinomların an(X - α1)...(X - αn) halinde de yazılabileceğini işaret eder. Burada, 1'den k'ye kadar değişen her αk polinomun bir köküdür. Burada, farklı k'ler için αk'ler eşit olabilir. Bu durumda, αk'ye katlı kök adı verilir.

    Cebirin temel teoremi, katsayıları gerçel sayı olan polinomlar ele alındığında şu dengi ifadelere karşılık gelmektedir:

    Gerçel katsayılara sahip, sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır.
    Gerçel katsayılı indirgenmez polinomlar ya 1 derecelidir ya da ikinci dereceden diskriminantı kesin negatif olan polinomlardır (yani aX2 + bX + c ve a\ne 0 halinde yazılabilen ve [​IMG] koşulunu sağlayan polinomlar).
    Sabit olmayan, gerçel katsayılara sahip her polinom, derecesi 1 veya 2 olan polinomların çarpımı şeklinde yazılabilir.


    Devamı ve ayrıntılar için tıklayın
    [Linkleri görebilmek için ÜYE olmalısınız!..]
     

Sayfayı Paylaş