1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Euler teorisi (Öyler)

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve Suskun tarafından 20 Nisan 2010 başlatılmıştır.

  1. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    Teorinin tarihi çıkışı
    Teorinin tanımı
    Öyler yollarının özellikleri
    Bir graftaki farklı öyler yollarının sayısı


    Öyler teorisinin tarihi çıkışı

    Öylerin teorisini ortaya atmasında önemli rol oynayan tarihi problem Königsberg köprüsü problemidir.
    [Linkleri görebilmek için ÜYE olmalısınız!..]
    Yukarıdaki şekilde pregel nehri etrafında kurulu (C ve B karaları) ve nehrin ortasında iki adası olan (A ve D adacıkları) kösigner şehrinin yukarıda görülen 7 köprüsü bulunmaktadır.

    Problem bütün köprülerden bir kere geçilen bir yol olup olmayacağıdır.

    Öyler bu soruyla uğraşırken yazımızın konusu olan öyler yolu teorisini bulmuştur ve cevap olarak böyle bir yolun bulunamayacağını istaplamıştır.

    Öylerin iddiası bastir bir keşfe dayanmaktaydı. Şayet bir düğüme (node) bir kenar (edge) ile geliniyorsa bu düğümü terk etmek için farklı bir yola ihtiyaç duyulur.

    Bu durumda her düğümün derecesini (node order) hesaplayan Öyler, bir düğüme giren çıkan yolların sayısına düğüm derecesi (node order) ismini verdi.

    Buna göre şayet bir düğümün derecesi tekse, bu düğüm ya başlangıç ya da bitiş düğümü olmalıdır. Bunun dışındaki durumlarda (yol (path) üzerindeki herhangi bir düğüm olması durumunda) tek sayıdaki yolun sonuncusu ziyaret edilmiş olamaz.
    [Linkleri görebilmek için ÜYE olmalısınız!..]



    Yukarıdaki şekilde köprü örneğinin graf ile gösterilmiş hali görülüyor. Burada dikkat edilirse her dört düğüm de tek sayıda dereceye sahiptir.

    A 5

    B C D ise 3

    derecesine sahiptir. Bu durumda düğümlerden iki tanesi başlangıç ve bitiş olsa diğer iki tanesini birleştiren yollar kullanılamayacak ve bütün kenarlar gezilmiş olamayacaktır.

    Öyler yolunun Tanımı

    Öyler yolu (eulerian path) tam olarak şu şekilde tanımlanabilir:

    Bir yönsüz grafta (undirected graph) şayet bütün düğümleri (nodes) dolaşan bir yol bulunabiliyorsa bu yola Öyler yolu( Eulerian Path, Eulerian Trail, Eulerian Walk) ismi verilir. Bu yolun bulunduğu grafa ise yarı öyler (semi-eulerian) veya dolaşılabilir (traversable) graf ismi verilir.

    Şayet bu yolun başlangıç ve bitiş düğümleri (node) aynıysa bu durumda tam bir döngü (cycle) elde edilebiliyor demektir ve bulunan bu yola öyler döngüsü (eulerian cycle, eulerian circuit veya eulerian tour) ismi verilir. Bu yolu içeren grafa ise öyler grafı (eulerian graph veya unicursal) ismi verilir.

    Yukarıdaki tanımı yönlü graflar (directed graphs) için de yapmak mümkündür. Ancak bu durumda yukarıdaki tanımda geçen yolları, yönlü yollar ve döngüleri, yönlü döngüler olarak değiştirmek gerekir.

    Öyler yolunun özellikleri

    * Bir yönsüz bağlı grafın bütün düğümlerinin derecesi çiftse bu graf öyler grafıdır (eulerian) [amcak ve ancak]
    * Bir yönlü graf (directed graf) ancak ve ancak bütün düğümlerin giren ve çıkan derecelerinin toplamları eşitse öyler grafı (eulerian) olabilir.
    * Bir yönsüz graf’ın öyler yolu bulunabilmesi için iki veya sıfır sayıda tek düğüm derecesine sahip üyesi olmalıdır.

    Öyler Döngülerinin sayısı

    Bir grafta öyler döngüleri bulunuyorsa, birden fazla olabilir. Yani birbirinden farklı döngüler elde edilebilir. Burada fark oluşturan faktör başlangıç ve bitiş düğümleridir.

    Örneğin aşağıdaki şekil için
    [Linkleri görebilmek için ÜYE olmalısınız!..]



    A-B-E-A-C-D-A döngüsü bir öyler döngüsüdür. Benzer şekilde

    E-B-A-C-D-A-E döngüsü de bir öyler döngüsüdür.

    Buradaki soru acaba bir grafta kaç farklı öyler döngüsü olabilir?

    Bu soruya cevap BEST teoremi ismi verilen ve teoremi bulan kişilerin isimlerinin baş harflerinden oluşsan teorem ile verilir. BEST teoremine göre bir grafta bulunan öyler döngülerinin sayısı graftaki bütün düğümlerin derecelerinin bire eksiğinin faktöriyellerinin çarpımına eşittir.

    ∏ ( d(v)-1) !

    olarak gösterilebilecek teoriye göre d() verilen düğümün (vertex) derecesi ve v ise graftaki bütün düğümlerdir.

    Örneğin yukarıdaki graf için bu değeri hesaplayacak olursak önce düğümlerin derecelerini çıkarmamız gerekir:

    A 4

    B 2

    C 2

    D 2

    E 2

    Şimdi bu değerlerin birer eksiklerinin faktöriyellerini çarpalım

    3! = 6

    1! = 1

    1! = 1

    1! = 1

    1! = 1

    sonuç olarak 6×1x1×1x1 = 6 farklı öyler döngüsü bulunabilir diyebiliriz.
     
  2. İLkİm*
    Avare

    İLkİm* MaviKuş ~ Özel üye

    Katılım:
    22 Kasım 2009
    Mesajlar:
    3.474
    Beğenileri:
    153
    Ödül Puanları:
    3.480
    Banka:
    136 ÇTL
    çok teşekkür ederim suskun :)
     
  3. wien06

    wien06 V.I.P V.I.P

    Katılım:
    30 Ağustos 2007
    Mesajlar:
    6.117
    Beğenileri:
    148
    Ödül Puanları:
    4.480
    Meslek:
    Serbest
    Yer:
    Viyana
    Banka:
    292 ÇTL
    Euler Formülü (Teoremi) Çok yüzlüler İçin


    EULER FORMÜLÜ:

    Bir çok yüzlü için;

    Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayırt Sayısı=2 dir.

    Her bir çokyüzlü için K + YA sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. Bu tüm konveks(dışbükey) çokyüzlüler için geçerli bir özelliktir.Bu bağıntıya Euler Teoremi ya da Formülü denir.
    8. sınıf ders kitaplarımızda görev olarak verilen Euler formülü budur.Bir kaç örnekle formülün doğruluğunu kontrol edlim....
    [​IMG]
    Köşe Sayısı:4
    Yüzey Sayısı:4
    Ayrıt Sayısı:6
    4+2-6=2
    [​IMG]
    Köşe Sayısı:8
    Yüzey Sayısı:6
    Ayrıt Sayısı:12
    8+6-12=2
    [​IMG]
    Köşe Sayısı:6
    Yüzey Sayısı:8
    Ayrıt Sayısı:12
    6+8-12=2
    [​IMG]
    Köşe Sayısı:20
    Yüzey Sayısı:12
    Ayrıt Sayısı:30
    20+12-30=2​
     
  4. İLkİm*
    Avare

    İLkİm* MaviKuş ~ Özel üye

    Katılım:
    22 Kasım 2009
    Mesajlar:
    3.474
    Beğenileri:
    153
    Ödül Puanları:
    3.480
    Banka:
    136 ÇTL
    çok teşekkür ederim wien06 :)

    ikinizinde ellerine sağlık :)
     
  5. wien06

    wien06 V.I.P V.I.P

    Katılım:
    30 Ağustos 2007
    Mesajlar:
    6.117
    Beğenileri:
    148
    Ödül Puanları:
    4.480
    Meslek:
    Serbest
    Yer:
    Viyana
    Banka:
    292 ÇTL
    Rica ederiz yesmm elimizden geldigi sürece herkese yardimci olmaya calisiriz.

    Yalniz yigenine söyle bir daha teorilerin adini düzgün yazsin aksam aksam bayagi bir kafam karisti:eek:
     
  6. İLkİm*
    Avare

    İLkİm* MaviKuş ~ Özel üye

    Katılım:
    22 Kasım 2009
    Mesajlar:
    3.474
    Beğenileri:
    153
    Ödül Puanları:
    3.480
    Banka:
    136 ÇTL
    uff amaa :P yigenim değil kuzenim :D sürekli yigenin diyosun :D

    tamam söz söylicem kuzenime hatta söyledim bile :) :)
     
  7. wien06

    wien06 V.I.P V.I.P

    Katılım:
    30 Ağustos 2007
    Mesajlar:
    6.117
    Beğenileri:
    148
    Ödül Puanları:
    4.480
    Meslek:
    Serbest
    Yer:
    Viyana
    Banka:
    292 ÇTL
    Suc bende degil siz euler teorisini, evler teorisi yaparsaniz bende kuzeni yigen yaparim:D

    Saka bir yana kuzenine ödevinde yardimci olduysak ne mutlu bize önemli olanda bu
     
  8. İLkİm*
    Avare

    İLkİm* MaviKuş ~ Özel üye

    Katılım:
    22 Kasım 2009
    Mesajlar:
    3.474
    Beğenileri:
    153
    Ödül Puanları:
    3.480
    Banka:
    136 ÇTL
    evet gerçekten yardımcı oldunuz :) çok teşekkür ederim :)
     

Sayfayı Paylaş