1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Karekök Nedir ?- Karekökü Kim Bulmuştur ?

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve Suskun tarafından 17 Aralık 2009 başlatılmıştır.

  1. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    Karekök Nedir - Karekökü Kim Bulmuştur

    Kare kök matematiksel bir ifadedir. Bir sayının kök içine alınması o sayının (1/2). kuvvetinin alınması demektir . Kare tabiri sayının alınan kökünün derecesini ifade eder. Örneğin 9 u kare köke alırsak dokuz 3'ün karesi olduğundan kök dışına 3 olarak çıkar. Küp kök de örneğin 27 'yi alırsak 27 de 3*3*3 demektir yani 3'ün küpüdür ve kök dışına 3 diye çıkar.
    Batılıların El Gabra(Algebra=cebir) dediği Cebir ilminin kurucusu kesin olarak bilinemekle birlikte Arap Matematikçi El Cabir Bin Hayyam'dır.

    Arşimed ayrıca sayısının değerini çok yaklaşık biçimde bulmuştur ve karekök bulma konusunda çalışmıştır. Karekök konusunda da o döneme kadar ulaşılan en iyi sonuçlara ulaşmış ve çok yaklaşıklıkla karekök hesabı yapmayı başarmıştır.


    "El Cabir baştan sona kadar cebir ilmini kurdu.
    1 2 ve 3. dereceden denklemlerin çözümlerini gösterdi. Karekök ve küpkök almayı gösterdi."
    Harezmi de cebirin kurucularındandır ama cebirin isim babası El Cabir'dir! İngilizce'deki Algebra kelimesi de bunu kanıtlamaktadır!
     
  2. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    Karekök nedir ? Kim bulmuştur ?

    Kare kök matematiksel bir ifadedir. Bir sayının kök içine alınması, o sayının (1/2). kuvvetinin alınması demektir . Kare tabiri sayının alınan kökünün derecesini ifade eder. Örneğin 9 u kare köke alırsak, dokuz 3′ün karesi olduğundan kök dışına 3 olarak çıkar. Küp kök de örneğin 27 ‘yi alırsak, 27 de 3*3*3 demektir yani 3′ün küpüdür ve kök dışına 3 diye çıkar.
    Batılıların El Gabra(Algebra=cebir) dediği Cebir ilminin kurucusu kesin olarak bilinemekle birlikte Arap Matematikçi El Cabir Bin Hayyam’dır.

    Arşimed ayrıca sayısının değerini çok yaklaşık biçimde bulmuştur ve karekök bulma konusunda çalışmıştır. Karekök konusunda da o döneme kadar ulaşılan en iyi sonuçlara ulaşmış ve çok yaklaşıklıkla karekök hesabı yapmayı başarmıştır.

    "El Cabir baştan sona kadar cebir ilmini kurdu.
    1, 2 ve 3. dereceden denklemlerin çözümlerini gösterdi. Karekök ve küpkök almayı gösterdi."
    Harezmi de cebirin kurucularındandır ama cebirin isim babası El Cabir’dir! İngilizce’deki Algebra kelimesi de bunu kanıtlamaktadır!
     
  3. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL


    KAREKÖKLÜ SAYILAR

    Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır.
    Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım.


    a2 = 2 ise a sayısını a = şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabiliriz.Acaba bu
    sayısı hangi sayılar arasındadır?Bunu inceleyelim:
    12 =1 1=1
    (1,5)2 = 1,5 1,5=2.25 tir
    O halde sayısı;1< <1,5
    Buna göre sayısı 1 ile 1,5 arasındadır,sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir;çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz.
    İşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde,rasyonel olmayan , ,…gibi sayılara irrasyonel(rasyonel olmayan) sayılar denir.I ile gösterilir.
    İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesinin birleşim kümesine de reel (gerçek) sayılar denir.

    R=Q U I Q ∩ I =O
    N  Q R I R

    R+=Pozitif reel sayılar
    R-=Negatif reel sayılar
    R= R- U {0} U R+

    Reel sayılar sayı eksenini tamamen doldurur.Sayı doğrusunda her noktaya bir reel sayı karşı gelir,yani sayı doğrusu ile reel sayılar kümesi bire bir eşlenebilir.

    a bir pozitif reel sayı olmak üzere; = b ifadesine kareköklü ifade denir.
    a bir gerçek(reel) sayı ve m ,1 den büyük bir tamsayı ise sayısına ,a sayısının m inci kuvvetten kökü denir.m sayısına da kökün derecesi denir.

    da, kök derecesi 2 dir.
    sayısının reel sayı olup olmama durumlarını inceleyelim:
    m, pozitif tek tamsayı ve a R ise sayısı bir reel sayıdır.
    , , reel sayılardır.

    m,pozitif çift tamsayı ve a R+ ise sayısı bir reel sayıdır.
    , , reel sayılardır.

    m pozitif çift tamsayı ve a R- ise sayısı bir reel sayı değildir.
    , , reel sayılar değildir.

    NOT: , , sayıları reel sayı değildir ;çünkü hiçbir reel sayının karesi –1,-4 ve –9 değildir.

    25 48,4
    2 2 =45 4 2=88
    -4 5 -16 8
    225 704
    225 745 48 x 2=964
    -704 4

    4100 5856

    KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADENİN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI


    Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler 2 veya 2 nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök dışına çıkarılabilirler.

    a R+ ,m Z ise 2m = a2m/2 = am
    a,b R+ ve b ≠ 0 ise 2.b2 = a.b 2/b2 = a/b dir.
    a,b R+ ve n Z olmak üzere ; 2n.b = an.
    Örnekler:

    = 2 = 22/2 = 2

    10 = 310/2 =35=243

    4 /58 = 2.2/52.4 =72/54

    a R için, 2 =

    2 = = 2 = 3
    KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a ŞEKLİNDE YAZMAK :
    işleminin sonucu kaçtır?
    48 2
    24 2 = 2.22.3
    12 2 = 2.2
    6 2 = 4
    3 3
    1

    3 işleminin sonucu kaçtır?
    504 2
    252 2 3 =3 2.2.32.7
    126 2 = 3.2.3.
    63 3 = 18
    21 3
    7 7
    1

    UYARI:Karekök dışına çıkarılan sayılar kökün önünde bulunan sayı ile çarpılarak yazılır.

    KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASI

    Kareköklü bir sayının katsayısını kök içine almakiçin katsayının karesini kök içindeki sayı ile çarpar,kök içine yazarız.
    a = 2.b
    Örnek:
    2 = 2.3 = =

    RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ

    a,b R+ olmak üzere ,
    = /

    Örnekler:

    = / = 2/ 2 =

    = = 2/ 62 =

    = = 2/ 2 = =



    UYARI:Tam sayılı olan kesirler birleşik kesire çevrilerek pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır.

    ONDALIK SAYILARIN KAREKÖKÜ

    Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabalir:
    Örnek:
    = =

    = =

    = = 5 /

    NOT: sayısının karekökünü pratik olarak şöyle alırız.Virgül yokmuş gibi kabul edersek, =2 dir.Oaha sonra virgülden sonraki her iki basamk için bir basamak sayıyı virgülle sağdan sola doğru ayırırız.
    =0.2

    Örnek:
    = =0,003

    1 2 3

    KAREKÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM

    1)Toplama-Çıkarma

    Kareköklü sayılarda toplama-çıkarma işlemi yapılırken karekök içindeki sayıların aynı olması veya aynı hale getirilmesi gerekir.Sonra ortak çarpan parantezine alınarak işlem yapılır.

    + – = (a+b-c)
    +

    Örnekler:

    - – + işleminin sonucu nedir?
    - + =
    =

    - – + – işleminin sonucu nedir?
    Kök içlerini aynı yapmaya çalışmalıyız.
    - + – = – + -
    = + – -
    = -

    2)Çarpma
    Körekök içinde verilen sayılar çarpılıp kök içine yazılır.Mümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır.

    a,b R+ ise , . = ; . = 2 =a ve . =

    Örnekler:
    - . = =
    - . = = =
    - . =
    =
    = 6.
    =
    Kareköklü sayının n kuvveti kök içindeki sayının n kuvvetidir.
    ( )2 = 2 ( )n = an n (x >0)
    Örnek:

    ( )4 = 4 = = 5.5 = 25

    NOT: ( + ). ( – ) = ( )2 – ( )2 = a – b
    Örnek:

    ( + ). ( – ) = ( )2 – ( )2 = 7-3 = 4

    3)Bölme
    Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılır.Sadeleştirmeler yapılıp,mümkünse kök dışına çıkarılır.
    a,b R+ ve b 0 ise / = ve / = dır.
    Örnekler:

    - / =
    - : = = = /2
    - / = =

    PAYDAYI RASYONEL YAPMA


    Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denir.Paydayı kökten kurtarmak için ;pay ve paydayı ,paydanın eşleniği ile çarparız.

    nın eşleniği ve . =a dır.
    ( + ) nin eşleniği ( – ) ve ( + ). ( – ) = a – b dir.
    ( – ) nin eşleniği ( + ) dir.
    ( – b) nin eşleniği ( + b) dir.
    - nin eşleniği 2 + + 2 dir.
    + nin eşleniği 2 – + 2 dir.
    nin eşleniği dir.
    m nin eşleniği n-m

    1)Paydada varsa:
    Pay ve paydayı ile çarparız.

    Örnekler:

    - 1/ = 1. / . = /2
    - 5/ = 5. / . = /10 = / 2

    2)Paydada + varsa :
    Pay ve paydayı – ile çarparız.

    Örnek:

    5 5. (2 – )
    =
    ( ). (2 – )

    = 5. (2 – )
    22 – ( )2

    = 10 -

    4 – 3

    =10 – = 5(2 – )

    BAZI KURALLAR:

    1) n = an/m

    2) = x , xm =a

    3) . =

    4) : =

    5) – + = (a – b + c)

    6) a > 0, b > 0, c > 0 m,n,k pozitif tam sayıdır.
    2 . b = an

    7) =

    = 2. bk.c

    9) =

    10) =

    11)( )n = a

    12) ( )m = m

    13) a R+ ise = n. b

    14) p = =

    15) =x ise x= 1+
    2

    16) =a+1

    17) k =




    *****************************





    KAREKÖKLÜ SAYILAR
    İRRASYONEL (RASYONEL OLMAYAN) SAYILAR

    Rasyonel sayılar kümesi, sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır. Çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar vardır. Şimdi bu sayıları inceleyelim.
    Karesi 2 olan a sayısını ele alalım.
    a2 = 2 ise, a sayısını* şeklinde gösterebilir ve “karekök iki” diye okuruz. Acaba bu sayısı hangi sayılar arasındadır?
    *
    Bunu inceleyelim.
    12 = 1 x 1 = 1
    (1,5)2 = 1,5 x 1,5 = 2,25 tir.

    Buna göre sayısı 1 ile 1,5 arasındadır, sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir. Çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz.
    İşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde, rasyonel olmayan sayılarına irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denir. “I” ile gösterilir.
    İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine de reel sayılar (gerçek sayılar) kümesi denir. R ile gösterilir.

    *
    A. TANIM
    a pozitif reel sayı olmak üzere,
    ifadesine kareköklü ifade denir.
    *

    B. KAREKÖK ALMA
    Verilen sayının hangi sayının karesi olduğunu bulma işlemi karekök alma işlemidir.


    Bazı sayıların karesini bilmeniz sizlere sorulan soruları cevaplamakta yarar sağlayacaktır.

    *

    C. KAREKÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM
    1. Toplama - Çıkarma
    Karekök içindeki sayıların birbirine eşit olduğu ifadelerde kat sayıları toplanır ya da çıkarılır. Bulunan sonuç kareköklü ifadenin kat sayısı olur.

    *
    2. Çarpma
    a ve b, birer pozitif reel sayı olmak üzere;

    *

    3. Bölme
    Uygun koşullarda,

    *

    D. PAYDAYI RASYONEL YAPMA
    Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifade de, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapma denir.
    Uygun koşullar altında;

    *

    E. KAREKÖKLÜ SAYILARDA SIRALAMA
    Pozitif kareköklü sayılarda, karekök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır. Şayet karekökün dışında karekökün kat sayısı varsa ilk önce bu kat sayı içeri alınır, ondan sonra sıralama yapılır.
     

Sayfayı Paylaş