1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Kareköklü İfadeler

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve ~meLek~ tarafından 25 Ekim 2013 başlatılmıştır.

  1. ~meLek~
    Cadı

    ~meLek~ GalataSaray'ım

    Katılım:
    15 Temmuz 2013
    Mesajlar:
    3.052
    Beğenileri:
    188
    Ödül Puanları:
    3.330
    Cinsiyet:
    Bayan
    Meslek:
    Öğrenci (:
    Yer:
    Napcan geLcenmi ki?
    Banka:
    109 ÇTL
    Kareköklü İfadeler

    n  Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = a şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.
    Örnekler:
    • n = 2 için a : Karekök a,
    • n = 3 için a : Küpkök a,
    • n = 4 için a : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
    Not: Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
    N  Z+ olmak üzere a için a0 olmalıdır.
    Örnekler
    • x4 = -16 ise x  R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
    -16  R, -7  R fakat
    x3 = -8 ise x = -8  R dir.
    Soru-1
    A = (x + x-3 )/(1 + 5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
    Çözüm
    x-3 ve 5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
    x-3  0 ve 5-x  0
     x3 ve 5x
     3  x  5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.
    Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması

    a = am/n dir.

    Örnek:
    • 8 = 23 = 23/4, -2 = (-2)1/3 tür.
    Soru-2
    2x = (0,5)2x-1 ise x kaçtır?
    Çözüm
    2x = (0,5)2x-1  2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
     2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)
     2x/3 = 2(-2x+1)/(2)
     x/3 = (1 – 2x)/(2)
     x = 8/3 dir.
    Köklü İfadenin Üssünün Alınması
    Tanımlı olduğu durumlarda,

    (a )m = am





    Örnekler:
    • (-2 )4 = (-2)4 = 16
    • (2 )3 = 23 = 8 dir
    Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması
    Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
    n  Z+ olmak üzere,

    a , n tek sayı
    an =
    a , n çift sayı


    Örnekler:
    • 125 = 53 = 5,
    • -8 = (-2)3 = -2
    • 1/32 = (1/2)5 = ½
    • 16 = 24 = 2 = 2
    • (3 – 2)2 = 3 - 2 olur.
    Burada 3 - 2  0 olduğundan,
    3 - 2 = -(3 – 2) = 2 - 3
    •26 = (22)3 = 4
    •27/32 = (3.32)/(2.42) = 3/43/2
    Soru-3
    243 / 0,0048 işleminin sonucu kaçtır?
    Çözüm
    243 / 0,0048 = 3.34 / 48.10-4 = 3.3 / 3.24.(10-1)4
    = 3.3 / 2.10-1.3
    = 3.10 / 2 = 15 tir.
    Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması
    N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.

    a/c . b = (an.b)/(cn)

    Not: n çift sayı ise a/c  0 olmalıdır.
    Örnekler:
    • 2.3/16 = (3.25)/(16) = 6
    • x.y.1/x2y2 = x3y3/x2y2 = xy
    • -1/3 . 27 = -27/34 = -1/3 tür.
    Soru-4
    A=(5-3)7+35 olduğuna göre, A kaçtır?
    Çözüm
    5-3  0 olduğundan,
    A = (5 – 3)7+35
    = -(3-5)7+35
    = -(3-5)2 .(7+35)
    = -(14-65)(7+35)
    = -2(7-35).(7+35)
    = -2[72 – (35)2]
    = -2.4 = -22 dir.
    Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme
    Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
    k  Z+ olmak üzere

    an = an.k = an/k

    Örnekler:
    • 32 = 25 = 2
    • 3 = 32 = 9
    • -2 = -2 = -24 = -16
    • (-2)6 = 26 = 26 = 2 dir.
    Soru-5
    x = 2 , y = 3 , ve z = 5
    sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
    Çözüm
    X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
    x = 2 = 26 = 264
    y = 3 = 34 = 81
    z = 5 = 53 = 125 ve
    1258164 olduğundan zyx tir.
    Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
    Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
    xa + y a – z a = (x+y-z)a gibi.
    Örnekler:
    • 3 + 2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
    • 7 + 7 (köklerin kuvvetleri farklı)
    • 35 +5 -25 = (3+2-1)5 = 25 tir.
    Soru-6
    48 + 12 - 27/4 işleminin sonucu nedir?
    Çözüm
    48 + 12 - 27/4 = 3.42 + 3.22 - (3.32)/(22)
    = 43 + 23 – 3/23
    = (4+2-3/2)3 = 9/23 tür.
    Soru-7
    8 + -128 + 16 işleminin sonucu nedir?
    Çözüm
    8 + -128 + 16 = 23 + 2.(-4)3 + 24
    = 2 - 42 + 2
    = (1-4+1)2
    = -22

    Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme
    Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
    Tanımlı olduğu durumlarda:

    a . b = a.b
    a / b = a/b

    Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
    a . b = am . bn = am.bn
    a / b = am / bn = am/bn (b0) dir.
    Örnek:
    • (2 . 3) / (5 ) = (2.3)/(5) = 6/5 tir.
    Soru-7
    2 . 16 işleminin sonucu nedir?
    Çözüm
    Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse,
    2 . 16 = 2 . 24
    = 25 . 24.3
    = 25 . 212 = 217
    = 215 . 22 = 24 tür.
    Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
    1-) n  m, b  0 olmak üzere, a/bm şeklindeki ifadelerde pay ve payda bn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.
    a / bm = (a / bm ) . (bn-m / bn-m) = (a . bn-m) / (b) dir.
    Örnekler
    • a/b = (a/b) . (b/b) = (ab)/(b)
    • 1/32 = (1/25) . (22/22) = 4/2
    • 1 / (2.3) = [1/(2.3)].[(22.3)/(22.3)] = (4.3)/(2.3) = (4.3)/(6)
    2-)a/(b-c) şeklindeki ifadelerde pay ve payda b+c ile,
    a/(b+c) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b-c ile çarpılır.
    (x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan
    (b - c)(b + c) = (b)2 – (c)2 = b – c dir.
    Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur.
    a/(b-c) = [a/(b-c)].[(b+c)/(b+c)] = [a(b+c)] / [b-c]
    a/(b+c) = [a/(b+c)].[(b-c)/(b-c)] = [a(b-c)] / [b-c] dir.
    Örnek:
    • 1/(5 – 2) = [1/(5-2)].[(5+2)/(5+2)] = [5 + 2] / [(5)2 – 22] = 5 + 2
    • 2/(5 + 3) = [2/(5+3)].[(5-3)/(5-3)] = [2(5-3)] / [(5)2-(3)2] = 5-3
    Soru-8
    3/4-7 ifadesinin eşiti nedir?
    Çözüm
    3/4-7 = (3/4-7).(4+7)/(4+7)
    = (34+7)/42 – (7)2 = (34+7)/9
    = 4+7 dir.
    Not: n  Z+ olmak üzere, paydada a-b ifadesi varsa pay ve payda a+b ile,paydada a+b ifadesi varsa pay ve payda a-b ile çarpılır.
    Soru-8
    1/(2-1) ifadesinin eşiti nedir?
    Çözüm
    1/(2-1) = [1/(2-1)].[(2+1)/(2+1)]
    = [2+1]/[(2)2-11] = (2 + 1) / (2 – 1)
    = [(2+1)/(2-1)].[(2-1)/(2-1)]
    = (2+1)(2+1) dir.
    3-) a/b - c şeklindeki ifadelerde pay ve payda b2 + bc + c2 ile çarpılır.
    (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
    (b - c )(b2 + bc + c2 ) = (b )3 – (c )3 = b – c dir.
    Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
    a / (b - c ) = [a / (b - c )].[(b2 + bc + c2 ) / (b2 + bc + c2 )]
    = [a(b2 + bc + c2 )] / [b - c]
    a/b + c şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b2 - bc + c2 ile çarpılır.
    (x + y)(x2 - xy + y2) = x3 – y3 olduğundan,
    (b + c )(b2 - bc + c2 ) = (b )3 + (c )3 = b + c dir.
    Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur.
    a / (b + c ) = [a / (b + c )].[(b2 - bc + c2 ) / (b2 - bc + c2 )]
    = [a(b2 - bc + c2)] / [b + c]
    Örnek:
    • 1 / (5 - 3 ) = [1 / (5 - 3 )].[(52 + 5.3 + 32 ) / (52 + 5.3 + 32 )]
    = [25 + 15 + 9 ] / [(5 )3 – (3 )3]
    = (25 + 15 + 9 ) / 2
    Soru-10
    1 / (9 + 6 + 4) ifadesinin eşiti nedir?
    Çözüm
    1/(9+6+4) = [1 / (32 + 3.2 + 22 )].[(3 - 2 )/(3 - 2 )]
    = [3 - 2]/[(3)3 – (2)3
    = 3 - 2 dir.
    İç İçe Kökler
    1-) x + 2y veya x - 2y şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığı araştırılır. Bunun için,
    x = a + b
    olmak üzere
    y = a . b
    • x + 2y = (a + b )2 = a + b

    a+b a.b
    • x - 2y = (a - b )2 = a - b

    a+b a.b
    Not: İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır.




    Örnekler:
    • 4 + 23 = 3 + 1 = 3 + 1
    • 7 - 212 = 4 - 3 = 2 - 3 tür.
    Soru-11

    3 + 5 - 3 - 5 işleminin sonucu nedir?
    Çözüm 1
    3 + 5 - 3 - 5 = [2(3 + 5)] / 2 - [2(3 - 5)] / 2
    = [(6 + 25) / 2] – [(6 - 25) / 2]
    = [(5 + 1) / 2] – [(5 – 1) / 2]
    = (5 + 1 - 5 + 1) / 2
    = 2
    Çözüm 2
    Verilen ifadeyi x’e eşitleyip her iki tarafın karesini alalım
    x = 3+5 - 3-5
    x2 = (3+5 - 3-5 )2
    x2 = (3+5 )2 +(3-5 )2-2(3+5)(3-5)
    x2 = 3 + 5 + 3 - 5 - 232-(5)2
    x2 = 6 - 24  x2 = 2 olur.
    x = 3+5 -3-5  0 olduğundan
    x = 2 dir.
    Not:

    a0 , b0 ve a2b olmak üzere,
    a+b = [(a+a2-b )/(2)] + [(a+a2-b)/(2)
    a+b = [(a+a2-b )/(2)] - [(a+a2-b)/(2)


    1-) a = a dır. (m.n.t çift sayı ise a0 olmalıdır.)
    Örnek:
    • 2 = 2 = 2
    Soru-12

    222 ifadesinin eşiti nedir?
    Çözüm
    Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım.

    222 = 23.22 = 220.2
    = 221 = 27 = 128 dir.
    3-) İç İçe Sonsuz Kökler
    a)
    aaa... = a

    aaa... = x  a.x = x
    x
     x = a



    Örnekler:

    • 888... = 8 =2
    • 777... = 7 = 7 dir.
    b)
    a:a:a: ... = a

    a:a:a: ... = x  a = x
    x  x = a
    şeklinde doğruluğu gösterilebilir.
    Örnek:
    • 8:8:8: ... = 8 = 2 dir.
    c)
    a+a+a+ ... = (1+1+4a) / (2) (a0)
    a-a-a- ... = (-1+1+4a) / (2) (a0)

    aaa ... = x  ax =x
    x  ax = x2
     (1+1+4a) / 2
    şeklinde doğruluğu gösterilebilir.
    Örnek:
    5+5+5+ ... = x  5+x = x  5+x = x2
    x  x2 – x – 5 = 0
     x = (1+1+4.5)/(2)
     x = (1+21)/(2) dir.
    Not:
    a  0 olmak üzere,

    a(a+1)+a(a+1)+a(a+1)+ ... = a+1
    a(a+1)-a(a+1)-a(a+1)- ... = a

    Örnek:
    • 12+12+12+ ... = 4 (a = 3, a+1 = 4)

    3.4
    • 30-30-30- ... = 5 (a = 5, a+1 = 6)

    6.5



    ÖSS SORULARI (1988-1997)
    1997/SAYISAL
    Soru No: 2
    (40 . 18) / 80
    İşleminin sonucu kaçtır?
    A)3 B)2 C)1 D)45 E)25
    Çözüm
    (40.18) / 80 = 9 = 3 CEVAP A

    Soru No: 4
    0,00256 . (0,081)-1
    İşleminin sonucu kaçtır?
    A)4 B)2 C)1 D)-1 E)-4
    Çözüm
    (0,4)4 . [(0,2)3]-1 = 0,4 . (0,2)-1
    = 0,4 . (1/0,2) = (0,4)/(0,2) = 2 CEVAP B

    Soru No: 25
    25/64 + (1/9) – (5/12)
    İşleminin sonucu kaçtır?
    A)5/12 B)5/8 C)1/12 D)1/8 E)7/24
    Çözüm
    (5/8)2 – 2.(5/8).(1/3) + (1/3)2 = [(5/8)–(1/3)]2
    = (5/8) – (1/3) = (15/8) / 24 =7/24 CEVAP E


    1996/SAYISAL
    Soru No: 10
    0,09’un karekökü kaçtır?
    A)0,081 B)0,081 C)0,81 D)0,3 E)0,03
    Çözüm
    0,09 = (0,3)2 = 0,3 CEVAP D

    Soru No: 11
    (0,48 - 0,27)/1,47
    İşleminin sonucu kaçtır?
    A)1/7 B)2/7 C)1 D)0,3 E)0,03
    Çözüm
    (3.0,16 - 3.0,9) = (0,43 – 0,33)/0,73
    =(0,13)/(0,73) = 0,1/0,7 = 1/7 CEVAP A

    Soru No: 12
    [3 / ((3 + 22)]+[3 / (3 - 22)]
    İşleminin sonucu kaçtır?
    A)6 B)9 C)12 D)16 E)18
    Çözüm
    {[3.(3-22)]/[9-8]}+{[3.(3+22)]/[9-8]}
    = [9-62]+[9+62] = 18 CEVAP E
    1995/SAYISAL
    Soru No: 12
    9+(-4)2-(-5)2
    İşleminin sonucu kaçtır?
    A)0 B)1 C)2 D)10 E)11
    Çözüm
    3 + -4 - -5 = 3 – (-4) – [-(-5)]
    = 3 + 4 – 2 = 2 CEVAP C

    1994/SAYISAL
    Soru No: 11
    a = 6+1 ve b = 6-1 olduğuna göre (a/b)+(b/a) toplamı kaçtır?
    A)2 B)3 C)4 D)14/5 E)29/7
    Çözüm
    A+b = 26 ve a.b = 5
    (a/b) + (b/a) = (a2 + b2)/(ab)
    = [(a+b)-2ab]/(ab) = [(26)2 – 2.5]/5
    = (24-10)/5 = 14/5 CEVAP D
    1992/SAYISAL
    Soru No: 8
    a2 = a şeklinde tanımlandığına göre,
    [(-3)2 + 9 - (-9)2]/[(-3)2]
    İşleminin sonucu kaçtır?
    A)-9 B)-3 C)-1 D)3 E)9
    Çözüm
    (--3 + 3 - -9) / (-3) = (-3+3-9)/3
    =-9/3 = -3 CEVAP B

    1991/SAYISAL
    Soru No: 13
    (3.12)/(0,16 + 0,36)
    İşleminin sonucu kaçtır?
    A)0,6 B)0,9 C)6 D)9 E)23
    Çözüm
    [3.12]/[(0,4)2+(0,6)2] = (36)/(0,4+0,6)
    = 6/1 = 6 CEVAP C

    1990/SAYISAL
    Soru No: 11
    [1/(3-2)] + [1/(3+2)]
    İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
    A)6 B)3 C)2 D)3+2 E)3-2
    Çözüm
    [(3+2)/(9-8)]+[(3-2)/(9-8)]
    = (3 + 22 + 3 - 22) = 6 CEVAP A



    Soru No: 22
    (-4)2 - 42 – (-2)2
    İşleminin sonucu kaçtır?
    A)-24 B)-16 C)-8 D)0 E)8
    Çözüm
    -4-4-(-8) = 4-4+8 = 8 CEVAP E...
     

Sayfayı Paylaş