Kareköklü sayılar

Suskun

V.I.P
V.I.P
Katılım
16 Mrt 2009
Mesajlar
23,140
Beğeniler
322
Şehir
Türkiye
#1
Daha önceki seneler bir karenin alanını bulmayı öğrenmiştiniz.
Karenin alanını bulurken bir kenarını kendisiyle çarpıyorduk ve buna kare alma işlemi diyorduk.


Örneğin karenin bir kenarı 3 ise alanı = 3.3=9 olarak bulunuyordu.
bu işleme kare bulma işlemi diyorduk.Veyahut “bir sayının karesi” olarak da adlandırılabiliyordu.

Karekök işlemi ise bunun tam tersidir.Yani karesi alınan bir sayının daha önceki halini bulma işlemine “karekök alma” denir.
Bunu göstermek için de bir sembol, bir şekil kullanılır.

isterseniz birkaç örneğe bakalım.



Peki hangi sayının karesi 33 eder ?

Cevap: karesi 33 eden bir tam sayı yok.

O halde karesi 33 e yakın olan sayılara bir bakalım.

Eğer 25 olsaydı cevap 5 derdik.

36 olsaydı cevap 6 derdik.

Demekki bu sayının cevabı 5 ile 6 arasında bir sayı olmalı.

Yani karekök içindeki 33 sayısı 5 ten büyük 6 dan küçük bir sayıdır.

Aynısı Karekök 22 için de geçerli.

Eğer karekök içinde 25 olsaydı cevabı 5 olurdu.

16 olsa idi cevabı 4 olurdu.

Demekki bu sayımız 4 ten büyük 5 ten küçük.

Not: Karekök içinde 49 sayısını dşünelim.

Hangi sayının karesi 49 eder ?

Sorunun cevabı +7 de olabilir -7 de,

çünkü;

(+7).(+7)=49

(-7).(-7)=49

ikisi de olabilirdi.

Fakat karekökün kesin bir kuralı vardır:

Karekök alma işleminde bulunan sayı pozitif olmalı.Negatif olanları kabul edilemez.


O halde cevap -7 olamaz, +7 olabilir.
 

Suskun

V.I.P
V.I.P
Katılım
16 Mrt 2009
Mesajlar
23,140
Beğeniler
322
Şehir
Türkiye
#2
KAREKÖKLÜ İFADELER

n Î Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = Öa şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.
Örnekler:
·n = 2 için Öa : Karekök a,
· n = 3 için Öa : Küpkök a,
· n = 4 için Öa : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
Not:Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
N Î Z+ olmak üzere Öa için a³0 olmalıdır.
Örnekler
· x4 = -16 ise x Ï R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
Ö-16 Ï R, Ö-7 Ï R fakat
x3 = -8 ise x = Ö-8 Î R dir.
Soru-1

A = (Öx + Öx-3 )/(1 + Ö5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
Çözüm

Öx-3 ve Ö5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
x-3 ³ 0 ve Ö5-x ³ 0
[COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] x³3 ve 5³x[/COLOR]
[COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] 3 £ x £ 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.[/COLOR]
Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması




Öa = am/n dir.

Örnek:
·Ö8 = Ö23 = 23/4, Ö-2 = (-2)1/3 tür.
Soru-2

Ö2x = Ö(0,5)2x-1 ise x kaçtır?
Çözüm

Ö2x = Ö(0,5)2x-1 Þ 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
[COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)[/COLOR]
[COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)[/COLOR]
[COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] x/3 = (1 – 2x)/(2)[/COLOR]
[COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] x = 8/3 dir.[/COLOR]
Köklü İfadenin Üssünün Alınması

Tanımlı olduğu durumlarda,

(Öa )m = Öam
Örnekler:
· (Ö-2 )4 = Ö(-2)4 = Ö16
· (Ö2 )3 = Ö23 = Ö8 dir
Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması

Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
n Î Z+ olmak üzere,



a , n tek sayı
Öan =
½a½ , n çift sayı



Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması

N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.



a/c . Öb = Ö(an.b)/(cn)



Not: n çift sayı ise a/c > 0 olmalıdır.
Örnekler:
·Ö2.Ö3/16 = Ö(3.25)/(16) = Ö6
· x.y.Ö1/x2y2 = Öx3y3/x2y2 = Öxy
· -1/3 . Ö27 = -Ö27/34 = -Ö1/3 tür.


Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme

Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
k Î Z+ olmak üzere



Öan = Öan.k = Öan/k



Örnekler:
·Ö32 = Ö25 = Ö2
·Ö3 = Ö32 = Ö9
·Ö-2 = -Ö2 = -Ö24 = -Ö16
·Ö(-2)6 = Ö26 = Ö26 = Ö2 dir.
Soru-5

x = Ö2 , y = Ö3 , ve z = Ö5
sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
Çözüm

X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
x = Ö2 = Ö26 = Ö264
y = Ö3 = Ö34 = Ö81
z = Ö5 = Ö53 = Ö125 ve
125>81>64 olduğundan z>y>x tir.
Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
xÖa + y Öa – z Öa = (x+y-z)Öa gibi.
Örnekler:
·Ö3 + Ö2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
·Ö7 + Ö7 (köklerin kuvvetleri farklı)

Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme

Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
Tanımlı olduğu durumlarda:
Öa . Öb = Öa.b
Öa / Öb = Öa/b

Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
Öa . Öb = Öam . Öbn = Öam.bn
Öa / Öb = Öam / Öbn = Öam/bn (b¹0) dir.
Örnek:
· (Ö2 . Ö3) / (Ö5 ) = Ö(2.3)/(5) = Ö6/5 tir.

Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
1-) n > m, b ¹ 0 olmak üzere, a/Öbm şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öbn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.
a / Öbm = (a / Öbm ) . (Öbn-m / Öbn-m) = (a . Öbn-m) / (b) dir.
Örnekler

· a/Öb = (a/Öb) . (Öb/Öb) = (aÖb)/(b)
· 1/Ö32 = (1/Ö25) . (Ö22/Ö22) = Ö4/2
· 1 / (Ö2.Ö3) = [1/(Ö2.Ö3)].[(Ö22.Ö3)/(Ö22.Ö3)] = (Ö4.Ö3)/(2.3) = (Ö4.Ö3)/(6)

Örnek:
· 1/(Ö5 – 2) = [1/(Ö5-2)].[(Ö5+2)/(Ö5+2)] = [Ö5 + 2] / [(Ö5)2 – 22] = Ö5 + 2
· 2/(Ö5 + Ö3) = [2/(Ö5+Ö3)].[(Ö5-Ö3)/(Ö5-Ö3)] = [2(Ö5-Ö3)] / [(Ö5)2-(Ö3)2] = Ö5-Ö3

Not:n Î Z+ olmak üzere, paydada Öa-Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa+Öb ile,paydada Öa+Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa-Öb ile çarpılır.
 

Benzer konular

Top