1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Kareköklü sayılar

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve Suskun tarafından 3 Ocak 2010 başlatılmıştır.

  1. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    Daha önceki seneler bir karenin alanını bulmayı öğrenmiştiniz.
    Karenin alanını bulurken bir kenarını kendisiyle çarpıyorduk ve buna kare alma işlemi diyorduk.


    Örneğin karenin bir kenarı 3 ise alanı = 3.3=9 olarak bulunuyordu.
    bu işleme kare bulma işlemi diyorduk.Veyahut “bir sayının karesi” olarak da adlandırılabiliyordu.

    Karekök işlemi ise bunun tam tersidir.Yani karesi alınan bir sayının daha önceki halini bulma işlemine “karekök alma” denir.
    Bunu göstermek için de bir sembol, bir şekil kullanılır.

    isterseniz birkaç örneğe bakalım.

    [​IMG]

    Peki hangi sayının karesi 33 eder ?

    Cevap: karesi 33 eden bir tam sayı yok.

    O halde karesi 33 e yakın olan sayılara bir bakalım.

    Eğer 25 olsaydı cevap 5 derdik.

    36 olsaydı cevap 6 derdik.

    Demekki bu sayının cevabı 5 ile 6 arasında bir sayı olmalı.

    Yani karekök içindeki 33 sayısı 5 ten büyük 6 dan küçük bir sayıdır.

    Aynısı Karekök 22 için de geçerli.

    Eğer karekök içinde 25 olsaydı cevabı 5 olurdu.

    16 olsa idi cevabı 4 olurdu.

    Demekki bu sayımız 4 ten büyük 5 ten küçük.

    Not: Karekök içinde 49 sayısını dşünelim.

    Hangi sayının karesi 49 eder ?

    Sorunun cevabı +7 de olabilir -7 de,

    çünkü;

    (+7).(+7)=49

    (-7).(-7)=49

    ikisi de olabilirdi.

    Fakat karekökün kesin bir kuralı vardır:

    Karekök alma işleminde bulunan sayı pozitif olmalı.Negatif olanları kabul edilemez.


    O halde cevap -7 olamaz, +7 olabilir.
     
  2. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    KAREKÖKLÜ İFADELER

    n Î Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = Öa şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur.
    Örnekler:
    ·n = 2 için Öa : Karekök a,
    · n = 3 için Öa : Küpkök a,
    · n = 4 için Öa : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur
    Not:Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir.
    N Î Z+ olmak üzere Öa için a³0 olmalıdır.
    Örnekler
    · x4 = -16 ise x Ï R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz.
    Ö-16 Ï R, Ö-7 Ï R fakat
    x3 = -8 ise x = Ö-8 Î R dir.
    Soru-1

    A = (Öx + Öx-3 )/(1 + Ö5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir?
    Çözüm

    Öx-3 ve Ö5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan,
    x-3 ³ 0 ve Ö5-x ³ 0
    [COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] x³3 ve 5³x[/COLOR]
    [COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] 3 £ x £ 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir.[/COLOR]
    Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması




    Öa = am/n dir.

    Örnek:
    ·Ö8 = Ö23 = 23/4, Ö-2 = (-2)1/3 tür.
    Soru-2

    Ö2x = Ö(0,5)2x-1 ise x kaçtır?
    Çözüm

    Ö2x = Ö(0,5)2x-1 Þ 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2)
    [COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2)[/COLOR]
    [COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] 2x/3 = 2(-2x+1)/(2)[/COLOR]
    [COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] x/3 = (1 – 2x)/(2)[/COLOR]
    [COLOR=[URL=http://www.cerezforum.com/usertag.php?do=list&action=hash&hash=000000%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%5BFONT%3DSymbol%5D%26THORN]#000000]&THORN[/URL] x = 8/3 dir.[/COLOR]
    Köklü İfadenin Üssünün Alınması

    Tanımlı olduğu durumlarda,

    (Öa )m = Öam
    Örnekler:
    · (Ö-2 )4 = Ö(-2)4 = Ö16
    · (Ö2 )3 = Ö23 = Ö8 dir
    Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması

    Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir.
    n Î Z+ olmak üzere,



    a , n tek sayı
    Öan =
    ½a½ , n çift sayı



    Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması

    N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir.



    a/c . Öb = Ö(an.b)/(cn)



    Not: n çift sayı ise a/c > 0 olmalıdır.
    Örnekler:
    ·Ö2.Ö3/16 = Ö(3.25)/(16) = Ö6
    · x.y.Ö1/x2y2 = Öx3y3/x2y2 = Öxy
    · -1/3 . Ö27 = -Ö27/34 = -Ö1/3 tür.


    Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme

    Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir.
    k Î Z+ olmak üzere



    Öan = Öan.k = Öan/k



    Örnekler:
    ·Ö32 = Ö25 = Ö2
    ·Ö3 = Ö32 = Ö9
    ·Ö-2 = -Ö2 = -Ö24 = -Ö16
    ·Ö(-2)6 = Ö26 = Ö26 = Ö2 dir.
    Soru-5

    x = Ö2 , y = Ö3 , ve z = Ö5
    sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır?
    Çözüm

    X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre:
    x = Ö2 = Ö26 = Ö264
    y = Ö3 = Ö34 = Ö81
    z = Ö5 = Ö53 = Ö125 ve
    125>81>64 olduğundan z>y>x tir.
    Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma
    Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır.
    xÖa + y Öa – z Öa = (x+y-z)Öa gibi.
    Örnekler:
    ·Ö3 + Ö2 (köklerin içindeki sayılar farklı)
    ·Ö7 + Ö7 (köklerin kuvvetleri farklı)

    Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme

    Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır.
    Tanımlı olduğu durumlarda:
    Öa . Öb = Öa.b
    Öa / Öb = Öa/b

    Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir.
    Öa . Öb = Öam . Öbn = Öam.bn
    Öa / Öb = Öam / Öbn = Öam/bn (b¹0) dir.
    Örnek:
    · (Ö2 . Ö3) / (Ö5 ) = Ö(2.3)/(5) = Ö6/5 tir.

    Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması)
    1-) n > m, b ¹ 0 olmak üzere, a/Öbm şeklindeki ifadelerde pay ve payda Öbn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır.
    a / Öbm = (a / Öbm ) . (Öbn-m / Öbn-m) = (a . Öbn-m) / (b) dir.
    Örnekler

    · a/Öb = (a/Öb) . (Öb/Öb) = (aÖb)/(b)
    · 1/Ö32 = (1/Ö25) . (Ö22/Ö22) = Ö4/2
    · 1 / (Ö2.Ö3) = [1/(Ö2.Ö3)].[(Ö22.Ö3)/(Ö22.Ö3)] = (Ö4.Ö3)/(2.3) = (Ö4.Ö3)/(6)

    Örnek:
    · 1/(Ö5 – 2) = [1/(Ö5-2)].[(Ö5+2)/(Ö5+2)] = [Ö5 + 2] / [(Ö5)2 – 22] = Ö5 + 2
    · 2/(Ö5 + Ö3) = [2/(Ö5+Ö3)].[(Ö5-Ö3)/(Ö5-Ö3)] = [2(Ö5-Ö3)] / [(Ö5)2-(Ö3)2] = Ö5-Ö3

    Not:n Î Z+ olmak üzere, paydada Öa-Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa+Öb ile,paydada Öa+Öb ifadesi varsa pay ve payda Öa-Öb ile çarpılır.
     

Sayfayı Paylaş