1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Kümeler,Küme çeşitleri,Kümelerde işlemler

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve Suskun tarafından 24 Aralık 2009 başlatılmıştır.

  1. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    KÜMELER

    Küme matematikte tanımsız olarak kabul edilen kavramlarından biridir. Ancak sezgisi olarak kümenin ne ifade ettiği de anlaşılmalıdır.
    Belirli ve birbirinden farklı nesnelerin küme oluşturduğunu anlarız.
    Kümeler genel olarak “A,B,C…” gibi büyük harflerle gösterilir.
    Elemanları dediğimiz nesneleri de küçük harflerle gösterilir. Bir “A” kümesine ait “a” elemanı “a Î A” şeklinde yazılır.

    Kümelerin Gösterimi

    1.Liste Yöntemi:

    Kümeye ait olan elemanlari açık olarak belirtme yöntemidir.Kümeye ait olan öğeler kümenin içersine yazılarak gösterilir.

    Örnek: A={ Ahmet , Ali , Mehmet , a , b , c }

    2.Ortak Özellik Yöntemi:

    Bir kümenin özelliklerini belirterek yazma yöntemidir. Küme ortrak özellik yöntemi ile; { x : x… koşulunu sağlar } = {x | x…. koşulunu sağlar } biçiminde gösterilir.

    Örnek: A={x | x , 6’nın pozitif tam böleni ve x Î Z } kümesini liste yöntemiyle gösterelim.

    A = { 1 , 2 , 3 , 6 }

    3.Şema Yöntemi (Venn Şeması)

    Küme öğelerinin kapalı bir şekil içersinde gösterme yöntemidir.

    Örnek: A={ x : | x – 2 | £ 1 , x Î } kümesinin elemanlarini şema yöntemiyle yazalım.
    | x – 2 | £ 1 A
    -1 £ x – 2 £ 1
    £ x £ 3
    A={ 1 , 2 3 }


    SONLU ve SONSUZ KÜMELER:​


    Tanım: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme,eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuzküme denir.

    Örnek: A = { x : -1 £ x < 20 , x Î Z } kümesinde s(A) =21 oduğundan A kümesi sonlu kümedir.

    A = { x: -2 £ x £ 4 , x Î Z } kümesinin sonlu saydia elemanı yoktu. Bu nedenle A kümesi sonsuz kümedir.

    Hatırlatma
    Doğal sayılar kümesi “N” ile gösterilir.
    N = { 0 , 1 , 2 , … , n , … }
    Tam sayılar kümesi “Z” ile gösterilir.
    Z = { … , -n , … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … , n , … }
    Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.
    Q = { a/b: a Î Z , b Î Z , b ¹ 0 }
    Reel (Gerçek,Gerçel Sayılar) kümesi “R” ile gösterilir.


     
  2. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    BOŞ KÜME:

    Tanım: Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir. f veya { } sembollerinden biriyle gösterilir.

    Örnek: A = { x: x = - 1 , x Î R } kümesi boş kümedir. Çünkü karesi “-1” olan reel sayı yoktur.


    UYARI:
    { f } boş küme değildir , tek elemanlı kümedir.
    { 0 } kümesi boş küme değildir.
    Boş küme bir tanedir.


    EŞİT KÜMELER:

    Tanım: Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit kümeler denir. A ve B eşit kümeler ise “ A = B “ ile , A ve B eşit değilse “ A ¹ B “ ile gösterilir.

    Örnek: A = { a , b , 2 } , B = { b , 2 , a }
    A = B ‘ dir

    DENK KÜMELER:

    Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir.

    Örnek: A= { 1 , 0 , -1 } B = { a , b , c } A ¹ B dir fakat s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ve B denk kümelerdir.


    UYARI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştirğinde küme değişmez.


    ALT KÜME:


    Bir “A” kümesinde bulunan B
    Her eleman aynı zamanda “B” kü-
    mesinde eleman ise “A” kümesi “B” A
    kümesinin alt kümesidir denir ve
    “A Ì B “ ifadesi ile gösterilir.
    “A Ì B “ ifadesi A alt küme B yada
    “B” “A’yı” kapsar biçiminde okunur.
    "x Î A , x Î B ise A Ì B ‘dir.
    A Ì B


    Örnek: A = { -1 , 2 , 3 } B = { -1 , 3 , 6 , 5 , 2 , 7 } ise
    A Ì B ‘dir.

    Alt Kümenin Özellikleri:
    Her “ A” kümesi için F Ì A ‘dır.(Çünkü F ‘ye ait olup A ‘ ya ait olmayan eleman yoktur.
    Her “A” kümesi için A Ì A ‘dır. (Her x Î A için x Î A olduğundan A Ì A ‘dır. )
    A , B , C kümeleri için ( A Ì B ve B Ì C) &THORN; A Ì C ‘dir.Kaynakwh:



    (A Ì B ve B Ì A) Û A = B ‘ dir.




    ÖZALT KÜME:


    Tanım: Bir “A” kümesinin kendisi dışındaki alt kümesine “A” kümesinin özalt kümesi denir.

    Örnek: A = { 2 , 5 } kümesinin özalt kümeler F , {2} , {5} ‘ dir.

    KUVVET KÜMESİ:

    Tanım: Bir “A” kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine A ‘nın kuvvet kümesi denir ve “P(A)” ile gösterilir.

    Örnek: A = { a , x } ise P(A) = { F,{0},{x},{a,x} } ‘dır.

    ALT ve ÖZALT KÜME SAYISI:

    Tanım: Genel olarak s(A)=n olan “A” kümesinin alt kümelerinin sayısı 2 ve özalt kümelerinin 2 – 1 ‘dir.

    Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } ise bu kümenin alt küme sayısı 2 ‘dir.
    S(A) = 3 oldugundan 2 = 8’dir. A kümesinin 8 alt kümesi 7 özalt kümesi vardir.

    N ELEMANLI BİR A KÜMESİNİN (r £ n) r ELEMANLI ALT KÜME SAYISI:

    N öğeli bir kümenin r_öğeli (r £ n) alt kümelerinin sayısı
    ( ) = ‘dir. (yani n’in r’li kombinasyonu denir.)

    Örnek: A = { a , b , c , d } kümesini 2 elemanlı alt kümelerinin
    sayısını bulalım. ( ) =
     
  3. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL



    KÜMELERDE İŞLEMLER

    1.Kümelerin Bielişimi:
    Tanım: “A ve B” kümelerinin bileşimi A È B = { x : x Î A veya x Î B } ‘dir. “A bileşim B” kümesi “A ile B” nin tüm elemanlarından oluşur.

    A B B A B

    A



    A È B A È B A È B


    Örnek: A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ve B = { 2 , 4 , 7 , 9 } ise
    A È B = { 1 , 3 , 4 , 2 , 7 , 9 } ‘dur.

    Birleşim Özellikleri
    Tek kuvvet özelliği:
    Her A kümesi için A È A = A ‘dır
    Her A ve B kümesi için A Ì B ‘ise A È B = B ‘ dir.
    Değişme özelliği:
    Her A ve B kümeleri için A È B = B È A ‘dir.
    Birleşme özelliği:
    Her A , B ve C kümeleri için (AÈB) È C = A È (B È C) ‘dir.
    s(A ÈB) = s(A) + s(B) – s(A ÇB) ‘ dir.

    2.Kümelerde Kesişim:
    Tanım: “A ve B” kümelerinin kesişimi A Ç B ={x : x Î A ve x Î B} ’dir. “A kesişim B” kümesi hem “A” hemde “B” kümesine ait elemanlardan olusmaktadır.


    A B






    A Ç B

    Örnek: A = { 1 , a , 2 , b , 3 } ve B = { 1 , 6 , 7 , b } ise
    A Ç B = { 1 , b } ‘ dir.





    Kesişim İşleminin Özellikler:
    Tek kuvvet özelliği:
    Her A kümesi için A Ç A = A ‘dır
    Her A ve B kümesi için A Ì B ise A Ç B = A ‘dır.
    Değişme özelliği:
    Her A ve B kümeleri için A Ç B = B Ç A ‘dır.
    Birleşme özelliği:
    (A Ç B) Ç C = A ( B Ç C) ‘ dir.

    3.Ayrık Kümeler:
    Tanım: A ve B kümeleri için A Ç B = F ise bu kümeler atrık kümelerdir.

    Örnek: A = { 1 , 5 , 6 } ve B = { 2 , b , y } ise
    A Ç B = F oldugu üçün A ve B kümeleri ayrık kümelerdir.

    4.Dağılma Özelliği:

    a.)Birleşimin Kesişim Üzerinde Dağılma Özelliği:
    Her A , B ve C elemanları için
    A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) ‘ dir


    Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } ve C = { 3 , 4 , 5 } ‘ ise
    A È ( B Ç C ) = A È { 3 , 4 }
    = { 1 , 2 , 3 , 4 }

    ( A È B ) Ç ( A È C ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } Ç { 1 , 2 , 3 , 4 }
    = { 1 , 2 , 3 ,4 }

    { 1 , 2 , 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 , 4 } = AÈ(BÇC) = ( A È B ) Ç ( A È C )


    b.)Kesişimin Birleşim Üzerinde Dağılma Özelliği
    Her A , B ve C kümeleri için
    A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) ‘ dir.

    Örnek: A = { a , b , c } , B = { c , d } ve C = { d , e } ise
    A Ç ( B È C ) = A Ç { c , d , e }
    = { c }
    ( A Ç B ) È ( A Ç C ) = { c } Ç F
    = { c }

    { c } = { c } = A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
    5.Birleşimin Eleman Sayısı:
    A ve B kümeleri için s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B ) ‘ dir.

    Örnek: s( A ) = 5 , s( B ) = 10 ve s (A Ç B ) = 2 ise
    s( A È B ) = 5 + 10 – 2
    = 13

    6.Evrensel Küme:
    Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.


    E
    A
    B C A Ì E , B Ì E , C Ì E
    Ve ( B È C ) Ì E ‘ dir.



    7.Tümleme:
    Bir A kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye A ‘ kümesinin tümleyeni denir.

    E







    A kümesinin tümleyini A¢ = A = A sembollerinden biriyle gösterilir.

    Örnek: E = { a , b , c , d , e } ve A = { a , b , c } ise
    A¢ = { d , e } ‘ dir.

    Tümleme İşleminin Özellikleri:
    A Ç A¢ = F
    A È A¢ = E
    ( A¢ ) ¢ = A
    A Ì B ise B¢ Ì A¢ ‘dir.
    ( A È B ) ¢ = A¢ Ç B¢ (De Morgon Kuralı)
    (A Ç B ) ¢ = A¢ È B¢ ( De Morgon Kuralı)
    s(A) + s(A) ¢ = s(E)
    E¢ = F
    F¢ = E

    8.Fark Kümesi:
    A ve B kümeleri için A \ B = { x : x Î A ve x Ï B } kümesine A fark B kümesi denir.

    A B


    A \ B A Ç B B \ A




    Örnek: A = { a , b , c , d } ve B = { a , d , e , f , b } ise
    A \ B = { c } B \ A = { e , f } ‘ dir.

    Fark Kümesinin Özellikleri:
    A ¹ B ise A \ B ¹ B \ A
    E \ A¢ = A
    A \ B = A Ç B¢
    A Ç B = F ise A \ B = A


    9.Simetrik Fark:
    A ve B kümeleri için A D B = ( A \ B ) È ( B \ A ) kümesine A ve B nin simetrik fark kümesi denir.

    Örnek: A = { a , {b} , c , {d,e} } ve B = { {a} , {b} , c , d } ise
    A D B = { a , {a} , d , {d,e} } ’ dir.

    Açık Önermeler ve Niceliyiciler:

    Açık Önerme:
    Tanım: İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere , doğruluğu veya yanlışlığı hakkında kesin karar verilebilen önermelere açık önerme denir.

    Örnek: P(x)= “x tamsayıdır” açık önermesinde x yerine 2 yazdığımızda önerme doğru olur. P(2) º 1 ‘dir. P(x) önermesinde x yerine ½ yadığımızda önerme yanlış olur. P(½) = 0 ‘dır.

    Tanım: Biraçık önermeyi doğru yapan elemanlardan oluşan kümeye “Açık Önermenin Doğruluk Kümesi” yada “Çözüm kümesi” denir.

    Örnek: P(x) = 3x+1 < 13 açık önermesinin doğal sayılarda doğruluk
    kümesini bulalım.
    3x+1 < 13 &THORN; 3x < 12 &THORN; x < 4 ‘ tür.
    P(x) önermesi x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 için doğru çözüm
    kümesidir.
    Ç = { 0 , 1 , 2 , 3 } ‘dür.

    Niceliyiciler:
    Günlük yaşantımızda kullandığımız “bazı , her” gibi sözcüklerle yaptığımız bir çok önerme vardır. “Bazı aylar 30 gündür” önermesinde sözcüğü “En az bir ay 30 gündür” anlamındadır. “ Her kuş uçar ” önermesinde her bütün anlamındadır.

    Varlıksal Niceliyiciler:
    “Bazı” ile ifade edilen niceliyeciye varlıksal niceliyici denir.Bazı sözcüğü “En az bir” anlamına gelir ve bazı ile yapılan önermenin doğruluğu için en az bir doğru örnek yeter. Matematikte bazı sözcüğünün yerine “ $ “ sembolü kullanılır.


    Örnek: “ Bazı sayılar 3’ e tam bölünür önermesi 3’e gölünen 3 , 6 …
    gibi sayılar olduğundan doğrudur.

    Evrensel Niceliyiciler:
    “Her” ifade edilen niceliyiciye “Evrensel Niceleyici” denir.Her sözcüğü bütün anlamına gelir ve “her” ile yapılan önermenin doğru olmadığını göstermek için bir tek yanlış örnek yeter.
    Matematikte “her” sözcüğünün yerine “"” sembolü kullanılır.

    Örnek: P(x) = Her x Î R , x > 0 ‘dır. Önermesi x=0 için doğru
    değildir. O halde önerme yanlıştır.

    “" ve $ ” İle Yapılan Önermelerin Olumsuzu:
    Bir önerme doğru iken önermenin olumsuzu yanlıştır.
    1. $x Î A , P(x) ‘ tir önermesinin olumsuzu
    [ $x Î A , P(x) ]¢ ile göserilir ve

    [ $x Î A , P(x) ]¢ º [ "x Î A , P(x) değilidir.]


    2. ["x Îr , x > -1] ‘dir önermesinin olumsuzu ["x Îr , x > -1]¢ ile gösterilir.
    ["x Î R , x > -1]¢ º [ $x Î R , x < -1 ‘dir]


    Sembol Olumsuzu(Değili)
    "…………………………………$
    $…………………………………"
    ³…………………………………<
    =…………………………………¹
    £………………………………….>
     
  4. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    KÜMELER

    Küme matematikte tanımsız olarak kabul edilen kavramlarından biridir. Ancak sezgisi olarak kümenin ne ifade ettiği de anlaşılmalıdır.
    Belirli ve birbirinden farklı nesnelerin küme oluşturduğunu anlarız.
    Kümeler genel olarak “A,B,C…” gibi büyük harflerle gösterilir.
    Elemanları dediğimiz nesneleri de küçük harflerle gösterilir. Bir “A” kümesine ait “a” elemanı “a Î A” şeklinde yazılır.

    Kümelerin Gösterimi

    1.Liste Yöntemi:

    Kümeye ait olan elemanlari açık olarak belirtme yöntemidir.Kümeye ait olan öğeler kümenin içersine yazılarak gösterilir.

    Örnek: A={ Ahmet , Ali , Mehmet , a , b , c }

    2.Ortak Özellik Yöntemi:

    Bir kümenin özelliklerini belirterek yazma yöntemidir. Küme ortrak özellik yöntemi ile; { x : x… koşulunu sağlar } = {x | x…. koşulunu sağlar } biçiminde gösterilir.

    Örnek: A={x | x , 6’nın pozitif tam böleni ve x Î Z } kümesini liste yöntemiyle gösterelim.

    A = { 1 , 2 , 3 , 6 }

    3.Şema Yöntemi (Venn Şeması)

    Küme öğelerinin kapalı bir şekil içersinde gösterme yöntemidir.

    Örnek: A={ x : | x – 2 | £ 1 , x Î } kümesinin elemanlarini şema yöntemiyle yazalım.
    | x – 2 | £ 1 A
    -1 £ x – 2 £ 1
    £ x £ 3
    A={ 1 , 2 3 }


    SONLU ve SONSUZ KÜMELER:


    Tanım: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme,eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuzküme denir.

    Örnek: A = { x : -1 £ x < 20 , x Î Z } kümesinde s(A) =21 oduğundan A kümesi sonlu kümedir.

    A = { x: -2 £ x £ 4 , x Î Z } kümesinin sonlu saydia elemanı yoktu. Bu nedenle A kümesi sonsuz kümedir.

    Hatırlatma
    Doğal sayılar kümesi “N” ile gösterilir.
    N = { 0 , 1 , 2 , … , n , … }
    Tam sayılar kümesi “Z” ile gösterilir.
    Z = { … , -n , … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , … , n , … }
    Rasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir.
    Q = { a/b: a Î Z , b Î Z , b ¹ 0 }
    Reel (Gerçek,Gerçel Sayılar) kümesi “R” ile gösterilir.


    BOŞ KÜME:


    Tanım: Elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir. f veya { } sembollerinden biriyle gösterilir.

    Örnek: A = { x: x = - 1 , x Î R } kümesi boş kümedir. Çünkü karesi “-1” olan reel sayı yoktur.


    UYARI:
    { f } boş küme değildir , tek elemanlı kümedir.
    { 0 } kümesi boş küme değildir.
    Boş küme bir tanedir.


    EŞİT KÜMELER:


    Tanım: Aynı elemanlardan oluşan kümeye eşit kümeler denir. A ve B eşit kümeler ise “ A = B “ ile , A ve B eşit değilse “ A ¹ B “ ile gösterilir.

    Örnek: A = { a , b , 2 } , B = { b , 2 , a }
    A = B ‘ dir

    DENK KÜMELER:


    Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir.

    Örnek: A= { 1 , 0 , -1 } B = { a , b , c } A ¹ B dir fakat s(A) = s(B) = 3 olduğundan A ve B denk kümelerdir.


    UYARI:
    Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştirğinde küme değişmez.


    ALT KÜME:

    Bir “A” kümesinde bulunan B
    Her eleman aynı zamanda “B” kü-
    mesinde eleman ise “A” kümesi “B” A
    kümesinin alt kümesidir denir ve
    “A Ì B “ ifadesi ile gösterilir.
    “A Ì B “ ifadesi A alt küme B yada
    “B” “A’yı” kapsar biçiminde okunur.
    "x Î A , x Î B ise A Ì B ‘dir.
    A Ì B


    Örnek: A = { -1 , 2 , 3 } B = { -1 , 3 , 6 , 5 , 2 , 7 } ise
    A Ì B ‘dir.

    Alt Kümenin Özellikleri:
    Her “ A” kümesi için F Ì A ‘dır.(Çünkü F ‘ye ait olup A ‘ ya ait olmayan eleman yoktur.
    Her “A” kümesi için A Ì A ‘dır. (Her x Î A için x Î A olduğundan A Ì A ‘dır. )
    A , B , C kümeleri için ( A Ì B ve B Ì C) &THORN; A Ì C ‘dir.Kaynakwh webhatti.com: KÜmeler
    (A Ì B ve B Ì A) Û A = B ‘ dir.




    ÖZALT KÜME
    :

    Tanım: Bir “A” kümesinin kendisi dışındaki alt kümesine “A” kümesinin özalt kümesi denir.

    Örnek: A = { 2 , 5 } kümesinin özalt kümeler F , {2} , {5} ‘ dir.

    KUVVET KÜMESİ:

    Tanım: Bir “A” kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine A ‘nın kuvvet kümesi denir ve “P(A)” ile gösterilir.

    Örnek: A = { a , x } ise P(A) = { F,{0},{x},{a,x} } ‘dır.

    ALT ve ÖZALT KÜME SAYISI:

    Tanım: Genel olarak s(A)=n olan “A” kümesinin alt kümelerinin sayısı 2 ve özalt kümelerinin 2 – 1 ‘dir.

    Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } ise bu kümenin alt küme sayısı 2 ‘dir.
    S(A) = 3 oldugundan 2 = 8’dir. A kümesinin 8 alt kümesi 7 özalt kümesi vardir.

    N ELEMANLI BİR A KÜMESİNİN (r £ n) r ELEMANLI ALT KÜME SAYISI:

    N öğeli bir kümenin r_öğeli (r £ n) alt kümelerinin sayısı
    ( ) = ‘dir. (yani n’in r’li kombinasyonu denir.)

    Örnek: A = { a , b , c , d } kümesini 2 elemanlı alt kümelerinin
    sayısını bulalım. ( ) =

    Kaynakwh webhatti.com: KÜmeler

    KÜMELERDE İŞLEMLER​


    1.Kümelerin Bielişimi:
    Tanım: “A ve B” kümelerinin bileşimi A È B = { x : x Î A veya x Î B } ‘dir. “A bileşim B” kümesi “A ile B” nin tüm elemanlarından oluşur.

    A B B A B

    A



    A È B A È B A È B


    Örnek: A = { 1 , 2 , 3 , 4 } ve B = { 2 , 4 , 7 , 9 } ise
    A È B = { 1 , 3 , 4 , 2 , 7 , 9 } ‘dur.

    Birleşim Özellikleri
    Tek kuvvet özelliği:
    Her A kümesi için A È A = A ‘dır
    Her A ve B kümesi için A Ì B ‘ise A È B = B ‘ dir.
    Değişme özelliği:
    Her A ve B kümeleri için A È B = B È A ‘dir.
    Birleşme özelliği:
    Her A , B ve C kümeleri için (AÈB) È C = A È (B È C) ‘dir.
    s(A ÈB) = s(A) + s(B) – s(A ÇB) ‘ dir.

    2.Kümelerde Kesişim:
    Tanım: “A ve B” kümelerinin kesişimi A Ç B ={x : x Î A ve x Î B} ’dir. “A kesişim B” kümesi hem “A” hemde “B” kümesine ait elemanlardan olusmaktadır.


    A B






    A Ç B

    Örnek: A = { 1 , a , 2 , b , 3 } ve B = { 1 , 6 , 7 , b } ise
    A Ç B = { 1 , b } ‘ dir.





    Kesişim İşleminin Özellikler:
    Tek kuvvet özelliği:
    Her A kümesi için A Ç A = A ‘dır
    Her A ve B kümesi için A Ì B ise A Ç B = A ‘dır.
    Değişme özelliği:
    Her A ve B kümeleri için A Ç B = B Ç A ‘dır.
    Birleşme özelliği:
    (A Ç B) Ç C = A ( B Ç C) ‘ dir.

    3.Ayrık Kümeler:
    Tanım: A ve B kümeleri için A Ç B = F ise bu kümeler atrık kümelerdir.

    Örnek: A = { 1 , 5 , 6 } ve B = { 2 , b , y } ise
    A Ç B = F oldugu üçün A ve B kümeleri ayrık kümelerdir.

    4.Dağılma Özelliği:

    a.)Birleşimin Kesişim Üzerinde Dağılma Özelliği:
    Her A , B ve C elemanları için
    A È ( B Ç C ) = ( A È B ) Ç ( A È C ) ‘ dir


    Örnek: A = { 1 , 2 , 3 } , B = { 2 , 3 , 4 } ve C = { 3 , 4 , 5 } ‘ ise
    A È ( B Ç C ) = A È { 3 , 4 }
    = { 1 , 2 , 3 , 4 }

    ( A È B ) Ç ( A È C ) = { 1 , 2 , 3 , 4 } Ç { 1 , 2 , 3 , 4 }
    = { 1 , 2 , 3 ,4 }

    { 1 , 2 , 3 , 4 } = { 1 , 2 , 3 , 4 } = AÈ(BÇC) = ( A È B ) Ç ( A È C )


    b.)Kesişimin Birleşim Üzerinde Dağılma Özelliği
    Her A , B ve C kümeleri için
    A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C ) ‘ dir.

    Örnek: A = { a , b , c } , B = { c , d } ve C = { d , e } ise
    A Ç ( B È C ) = A Ç { c , d , e }
    = { c }
    ( A Ç B ) È ( A Ç C ) = { c } Ç F
    = { c }

    { c } = { c } = A Ç ( B È C ) = ( A Ç B ) È ( A Ç C )
    5.Birleşimin Eleman Sayısı:
    A ve B kümeleri için s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B ) ‘ dir.

    Örnek: s( A ) = 5 , s( B ) = 10 ve s (A Ç B ) = 2 ise
    s( A È B ) = 5 + 10 – 2
    = 13

    6.Evrensel Küme:
    Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.


    E
    A
    B C A Ì E , B Ì E , C Ì E
    Ve ( B È C ) Ì E ‘ dir.



    7.Tümleme:
    Bir A kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye A ‘ kümesinin tümleyeni denir.

    E







    A kümesinin tümleyini A¢ = A = A sembollerinden biriyle gösterilir.

    Örnek: E = { a , b , c , d , e } ve A = { a , b , c } ise
    A¢ = { d , e } ‘ dir.

    Tümleme İşleminin Özellikleri:
    A Ç A¢ = F
    A È A¢ = E
    ( A¢ ) ¢ = A
    A Ì B ise B¢ Ì A¢ ‘dir.
    ( A È B ) ¢ = A¢ Ç B¢ (De Morgon Kuralı)
    (A Ç B ) ¢ = A¢ È B¢ ( De Morgon Kuralı)
    s(A) + s(A) ¢ = s(E)
    E¢ = F
    F¢ = E

    8.Fark Kümesi:

    A ve B kümeleri için A \ B = { x : x Î A ve x Ï B } kümesine A fark B kümesi denir.

    A B


    A \ B A Ç B B \ A




    Örnek: A = { a , b , c , d } ve B = { a , d , e , f , b } ise
    A \ B = { c } B \ A = { e , f } ‘ dir.

    Fark Kümesinin Özellikleri:
    A ¹ B ise A \ B ¹ B \ A
    E \ A¢ = A
    A \ B = A Ç B¢
    A Ç B = F ise A \ B = A


    9.Simetrik Fark:
    A ve B kümeleri için A D B = ( A \ B ) È ( B \ A ) kümesine A ve B nin simetrik fark kümesi denir.

    Örnek: A = { a , {b} , c , {d,e} } ve B = { {a} , {b} , c , d } ise
    A D B = { a , {a} , d , {d,e} } ’ dir.

    Açık Önermeler ve Niceliyiciler:


    Açık Önerme:
    Tanım: İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere , doğruluğu veya yanlışlığı hakkında kesin karar verilebilen önermelere açık önerme denir.

    Örnek: P(x)= “x tamsayıdır” açık önermesinde x yerine 2 yazdığımızda önerme doğru olur. P(2) º 1 ‘dir. P(x) önermesinde x yerine ½ yadığımızda önerme yanlış olur. P(½) = 0 ‘dır.

    Tanım: Biraçık önermeyi doğru yapan elemanlardan oluşan kümeye “Açık Önermenin Doğruluk Kümesi” yada “Çözüm kümesi” denir.

    Örnek: P(x) = 3x+1 < 13 açık önermesinin doğal sayılarda doğruluk
    kümesini bulalım.
    3x+1 < 13 &THORN; 3x < 12 &THORN; x < 4 ‘ tür.
    P(x) önermesi x = 0 , x = 1 , x = 2 , x = 3 için doğru çözüm
    kümesidir.
    Ç = { 0 , 1 , 2 , 3 } ‘dür.

    Niceliyiciler:

    Günlük yaşantımızda kullandığımız “bazı , her” gibi sözcüklerle yaptığımız bir çok önerme vardır. “Bazı aylar 30 gündür” önermesinde sözcüğü “En az bir ay 30 gündür” anlamındadır. “ Her kuş uçar ” önermesinde her bütün anlamındadır.

    Varlıksal Niceliyiciler:
    “Bazı” ile ifade edilen niceliyeciye varlıksal niceliyici denir.Bazı sözcüğü “En az bir” anlamına gelir ve bazı ile yapılan önermenin doğruluğu için en az bir doğru örnek yeter. Matematikte bazı sözcüğünün yerine “ $ “ sembolü kullanılır.


    Örnek: “ Bazı sayılar 3’ e tam bölünür önermesi 3’e gölünen 3 , 6 …
    gibi sayılar olduğundan doğrudur.

    Evrensel Niceliyiciler:
    “Her” ifade edilen niceliyiciye “Evrensel Niceleyici” denir.Her sözcüğü bütün anlamına gelir ve “her” ile yapılan önermenin doğru olmadığını göstermek için bir tek yanlış örnek yeter.
    Matematikte “her” sözcüğünün yerine “"” sembolü kullanılır.

    Örnek: P(x) = Her x Î R , x > 0 ‘dır. Önermesi x=0 için doğru
    değildir. O halde önerme yanlıştır.

    “" ve $ ” İle Yapılan Önermelerin Olumsuzu:
    Bir önerme doğru iken önermenin olumsuzu yanlıştır.
    1. $x Î A , P(x) ‘ tir önermesinin olumsuzu
    [ $x Î A , P(x) ]¢ ile göserilir ve

    [ $x Î A , P(x) ]¢ º [ "x Î A , P(x) değilidir.]


    2. ["x Îr , x > -1] ‘dir önermesinin olumsuzu ["x Îr , x > -1]¢ ile gösterilir.
    ["x Î R , x > -1]¢ º [ $x Î R , x < -1 ‘dir]


    Sembol Olumsuzu(Değili)
    "…………………………………$
    $…………………………………"
    ³…………………………………<
    =…………………………………¹
    £………………………………….>
     

Sayfayı Paylaş