1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Merkezsel Moment

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve Suskun tarafından 16 Eylül 2011 başlatılmıştır.

  1. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL


    Merkezsel Moment

    Olasılık kuramı ve istatistik bilimsel dallarında bir reel-değerli rassal değişken için kinci ortalama etrafındaki moment, E beklenen değer operatörü olursa

    μk := E[(X - E[X])k]

    miktarı olarak tanımlanır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan bir sürekli tekdeğişirli olasılık dağılımı için ortalama μ etrafındaki moment şöyle ifade edilir:

    [​IMG]

    Fizikçiler kullandıkları notasyonda burada verilen E(X) (Xin beklenen değeri) yerine \langle X \rangle terimini tercih etmektedirler.

    Eğer rassal değişken için bir ortalama bulunmuyorsa (örneğin Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken için) o halde merkezsel momentler de anlamsızdır.

    İlk birkaç merkezsel moment için biraz sezgiye dayanan açıklamalar şöyle verilebilir:

    Birinci merkezsel moment sıfırdır.

    İkinci ortalama etrafındaki moment varyans ismini alır ve σ2 olarak ifade edilir; burada σ standart sapmayı temsil eder.

    Ortalama etrafındaki üçüncü ve dördüncü momentler standardize edilmiş momentlerin tanımlanmasında kullanılırlar ve bunlar ise ayni sırayla çarpıklık ve basıklık tanımlaması için kullanılırlar.

    Özellikleri

    ninci merkezsel moment çevirme operasyonu ile değiştirilemez; herhangi bir rassal değişken olan X için ve bir sabit olan c için

    [​IMG]

    olur.

    Her n için, ninci merkezsel moment n dereceli homojen dir; yani

    [​IMG]

    Yalnız n ≤ 3 için geçerli olan bir özellik, birbirinden bağımsız olan X ve Y rassal değişkenleri için toplanabilirlilik özelliğidir:

    [​IMG]

    Kümülant adı verilen, bir diğer fonksiyon türü de, ninci merkezsel momentin sahip olduğu çevirme operasyonu ile değişmeme ve homojenlik özelliklerini taşır. Fakat, merkezsel momentin aksine, bu fonksiyon türü n ≥ 4 olsa bile toplanabilirlilik özelliği gösterir. Bu fonksiyon türü

    κn(X).

    olarak ifade edilen ninci kümülantdır.

    n = 1, için ninci kümülant, sadece beklenen değerdir.
    n = ya 2 veya 3 ise, ninci kümülant sadece ninci merkezsel moment olur.
    n ≥ 4, ise ninci kümülant ise bir ilk sifir etrafindaki n momentin ninci-derecede monotonik polinomu olurlar ve daha kolaylıkla ilk n merkezsel momentlerin n dereceli polinomları olurlar.

    Orijin etrafındaki momentlere ilişki

    Bazen orijin etrafındaki momentleri ortalama etrafındaki momentlere değiştirmek daha uygun olabilir. Orijin etrafındaki ninci-derecede momenti ortalama etrafındaki momente değiştirmek için kullanılan genel denklem şudur:

    [​IMG]

    Burada m dağılımın ortalaması olur. Orijin etrafındaki moment şöyle verilir:

    [​IMG]

    n = 2,3, ve 4 halleri sırasıyla varyans, çarpıklık ve basıklık özellikleri ile ilişkili oldukları için önemlilerdir ve formülleri şöyle ifade edilir:

    μ2 = μ'2 − m2

    μ3 = μ'3 − 3mμ'2 + 2m3

    μ4 = μ'4 − 4mμ'3 + 6m2μ'2 − 3m4
     

Sayfayı Paylaş