1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Polinomlar Hakkında Genel Bilgi

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve Çağlayağmur tarafından 5 Mayıs 2012 başlatılmıştır.

  1. Çağlayağmur
    Hoşgörülü

    Çağlayağmur ... Süper Moderatör

    Katılım:
    15 Aralık 2010
    Mesajlar:
    15.093
    Beğenileri:
    4.417
    Ödül Puanları:
    11.080
    Cinsiyet:
    Bayan
    Yer:
    Ankara
    Banka:
    811 ÇTL
    Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:


    a0, a1, a2, ….an-1, an Î R ve n Î N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

    1. an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.

    2. an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.

    3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.

    4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.

    5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,

    P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,

    P(x) = a0 + a1x + a2x2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.

    6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir.

    Örnek:

    P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n Î N kaç olmalıdır?

    Çözüm:

    5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.

    3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 ³ 0 den n ³ 2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu

    P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4

    P(x) = 2x4 + x + 4 dür.
     
  2. Çağlayağmur
    Hoşgörülü

    Çağlayağmur ... Süper Moderatör

    Katılım:
    15 Aralık 2010
    Mesajlar:
    15.093
    Beğenileri:
    4.417
    Ödül Puanları:
    11.080
    Cinsiyet:
    Bayan
    Yer:
    Ankara
    Banka:
    811 ÇTL
    P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.

    Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.

    der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.

    Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.

    Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

    Örnek

    P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

    Çözüm:

    2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6

    -3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8

    x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5

    -y5 teriminin derecesi 5

    Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

    Örnek

    P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise

    P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

    Çözüm:

    P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2

    = 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.

    P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = – 2 bulunur.

    P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2

    = 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.
     
  3. Çağlayağmur
    Hoşgörülü

    Çağlayağmur ... Süper Moderatör

    Katılım:
    15 Aralık 2010
    Mesajlar:
    15.093
    Beğenileri:
    4.417
    Ödül Puanları:
    11.080
    Cinsiyet:
    Bayan
    Yer:
    Ankara
    Banka:
    811 ÇTL
    P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,

    an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

    Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

    Örnek

    P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

    Çözüm
    P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;

    m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;

    m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.
     
  4. Çağlayağmur
    Hoşgörülü

    Çağlayağmur ... Süper Moderatör

    Katılım:
    15 Aralık 2010
    Mesajlar:
    15.093
    Beğenileri:
    4.417
    Ödül Puanları:
    11.080
    Cinsiyet:
    Bayan
    Yer:
    Ankara
    Banka:
    811 ÇTL
    P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve a0 ¹ 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

    0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.

    x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

    Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

    Çözüm
    P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.
     
  5. Çağlayağmur
    Hoşgörülü

    Çağlayağmur ... Süper Moderatör

    Katılım:
    15 Aralık 2010
    Mesajlar:
    15.093
    Beğenileri:
    4.417
    Ödül Puanları:
    11.080
    Cinsiyet:
    Bayan
    Yer:
    Ankara
    Banka:
    811 ÇTL
    Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

    n. dereceden,

    A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 ve

    B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;

    A(x) = B(x) Û an = bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.
     
  6. Çağlayağmur
    Hoşgörülü

    Çağlayağmur ... Süper Moderatör

    Katılım:
    15 Aralık 2010
    Mesajlar:
    15.093
    Beğenileri:
    4.417
    Ödül Puanları:
    11.080
    Cinsiyet:
    Bayan
    Yer:
    Ankara
    Banka:
    811 ÇTL
    P : R ® R

    x ® P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

    P : R ® R

    x ® P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

    Örnek

    P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

    Çözüm
    P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.

    P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1

    = x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2

    P(x-1) = x2 olarak bulunur.

    II: Yol:

    Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.

    P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

    Örnek

    P(x) polinomu için,

    P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

    Çözüm
    P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliğinde

    H = x + 2 Þ h –2 = x’i yerine yazalım.

    P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

    P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4

    P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.
     
  7. Çağlayağmur
    Hoşgörülü

    Çağlayağmur ... Süper Moderatör

    Katılım:
    15 Aralık 2010
    Mesajlar:
    15.093
    Beğenileri:
    4.417
    Ödül Puanları:
    11.080
    Cinsiyet:
    Bayan
    Yer:
    Ankara
    Banka:
    811 ÇTL
    P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa

    P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.

    P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.


    Örnek

    P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.


    Çözüm
    P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.

    P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1

    = 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.
     
  8. Çağlayağmur
    Hoşgörülü

    Çağlayağmur ... Süper Moderatör

    Katılım:
    15 Aralık 2010
    Mesajlar:
    15.093
    Beğenileri:
    4.417
    Ödül Puanları:
    11.080
    Cinsiyet:
    Bayan
    Yer:
    Ankara
    Banka:
    811 ÇTL
    Polinomlarda Toplama İşlemi


    A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0

    B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0

    Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.

    A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

    Örnek

    P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + Ö3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

    Çözüm
    P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + Ö3) x + 1 + 4

    = x3 + 5x2 + (Ö3-3) x + 5 dir.

    Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

    1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.

    2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

    3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

    4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.

    5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.
     

Sayfayı Paylaş