1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Taban aritmetiği

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve Suskun tarafından 7 Kasım 2010 başlatılmıştır.

  1. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    TABAN ARİTMETİĞİ NEDİR?


    Bir sayı sisteminde sayının basamak değerlerini göstermek için kullanılan düzene taban denir.

    T taban olmak üzere,

    (abcd)T = a . T3 + b . T2 + c . T + d dir.

    Burada,

    * T, 1 den büyük doğal sayıdır.
    * a, b, c, d rakamları T den küçüktür.
    * Taban belirtmeden kullandığımız sayılar 10 luk tabana göredir.
    * (abc, de)T = a . T 2 + b . T + c + d . T – 1 + e . T – 2 dir.


    1. Onluk Tabanda Verilen Sayının Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi

    Onluk tabanda verilen sayı, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu işleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.

    Ardışık olarak yapılan bu bölmelerden kalanlar sondan başlayarak (ilk kalan son rakam olacak şekilde) sıralanmasıyla istenen sayı oluşturulur.

    2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının 10 luk Tabana Çevrilmesi

    Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayı, ait olduğu tabana göre çözümlenir.

    3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması

    Herhangi bir tabanda verilen sayı önce 10 tabanına çevrilir. Bulunan değer istenen tabana dönüştürülür.

    4. Taban Aritmetiğinde Toplama, Çıkarma, Çarpma İşlemleri

    Değişik tabanlarda yapılacak işlemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapılır.

    T tabanında verilen sayılarda toplama ve çarpma işlemleri bilinen cebirsel işlem gibi yapılır, ancak sonuç T den büyük çıkarsa içinden T ler atılıp kalan alınır. Atılan T adedi elde olarak bir sonraki basamağa ilave edilir.

    Çıkarma işlemi yapılırken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiğinde, bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın sayı değeri kadardır. Fakat alındığı basamaktaki rakam 1 azalır.
    [​IMG]


    Herhangi bir " p " tabanında yazılmış bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:

    Bir sayının herhangi bir " p " tabanında yazıldığı belirtileceği zaman, ( abc . . . )p yazılışı kullanılır.

    Bu sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, bu sayıyı çözümlemek demektir.

    Bir " p " tabanında yazılmış bir sayının çözümlenmesi işlemi, 10 tabanındaki çözümleme işlemi gibidir. Sadece 10 sayısı yerine " p " sayısı kullanılır.

    İki basamaklı bir ( ab )p sayısı a.p + b şeklinde,

    üç basamaklı bir ( abc )p sayısı a.p2 + b.p + c şeklinde,

    dört basamaklı bir ( abcd )p sayısı a.p3 + b.p2 + c.p + d şeklinde çözümlenir ve

    basamak sayısı arttıkça bu durum benzer şekilde devam eder.

    ( abcd )p = a.p3 + b.p2 + c.p + d



    ÖRNEKLER :

    1) ( 702 )9= 7.92 + 0.9 + 2= 7.81 + 0 + 2= 567 + 2= 569


    2) ( 702 )8= 7.82 + 0.8 + 2= 7.64 + 0 + 2= 448 + 2= 450


    3) ( 343 )5= 3.52 + 4.5 + 3= 3.25 + 20 + 3= 75 + 23= 98

    4) ( 1011 )2= 1.23 + 0.22 + 1.2 + 1= 8 + 0 + 2 + 1= 11

    5) ( 1011 )3= 1.33 + 0.32 + 1.3 + 1= 27 + 0 + 3 + 1= 31

    6) ( 1000 )7= 1.73 + 0.72 + 0.7 + 0= 343 + 0 + 0 + 0= 343




    10 tabanında yazılmış bir sayının bir " p " tabanında yazılışını bulmak :

    10 tabanında yazılmış sayı A olsun. A sayısının p tabanındaki yazılışını bulmak için, A sayısı p ile bölünür. Bu bölmede elde edilen bölüm, p sayısına eşit ya da p sayısından büyükse, bölüm p ile bölünür. Bu işleme, elde edilen bölüm p sayısından küçük oluncaya kadar devam edilir. Elde edilen bölüm p sayısından küçük olduğu zaman, bu bölüm ve tüm bölme işlemlerindeki kalanlar, sondan başa doğru, ilk bölme işlemindeki kalan birler basamağına gelecek şekilde sıralanır. Böylece A sayısının p tabanında yazılışı elde edilmiş olur.

    Bu yolla 96 sayısının 8 , 7 ve 6 tabanlarındaki yazılışlarını ayrı ayrı bulalım.

    1) 96 sayısının 8 tabanında yazılışı:

    96 sayısı 8 ile bölününce bölüm 12, kalan 0 olur.

    96 = 8 . 12+ 0

    Bölüm olan 12 sayısı 8' den büyüktür. 12, 8 ile bölünür. Bu bölme işleminde de bölüm 1, kalan 4 olur.

    12 = 8 . 1 + 4

    Şimdi bölüm olan 1 sayısı 8' den küçüktür.

    Son bölüm olan 1 sayısı en başa, ilk kalan olan 0 sayısı en sona gelecek şekilde, 1, 4 ve 0 sayıları yanyana yazılır. Böylece 96 sayısının 8 tabanında yazılışı 140 olarak elde edilmiş olur.

    96 = ( 140 )8

    2) 96 sayısının 7 tabanında yazılışı:

    96 = 7 . 13 + 513
    = 7 . 1 + 6 96
    = ( 165 )7


    3) 96 sayısının 6 tabanında yazılışı:

    96 = 6 . 16 + 0

    16 = 6 . 2 + 4

    96 = ( 240 )6

    Bir bölme işleminde, kalan daima bölenden küçüktür. Buna göre, bir sayının bir p tabanındaki yazılışında, kullanılan sayıların hepsi " p " den küçük olmalıdır.

    ( abcd )p yazılışında a, b, c ve d, " p "
    den küçük sayılar olmalıdır.​


    Örneğin ( 240 )3 yazılışı yanlıştır, çünkü sayı tabanı 3 olduğu halde, sayı yazılırken üçten büyük olan 4 kullanılmıştır.

    Bunun gibi, ( 2406 )6 yazılışı da yanlıştır, çünkü sayı tabanı 6 olduğu halde, sayı yazılırken de 6 kullanılmıştır.

    Herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanında karşılığını bulmak:

    10 tabanında yazılmış bir ondalık sayı, örneğin 37,254 sayısı aşağıdaki gibi çözümlenir :

    37,254 = 3 . 10 + 7 + 2 . 10-1 + 5 . 10-2 + 4 . 10-3

    Bunun gibi, herhangi bir p tabanında yazılmış ondalık bir sayının 10 tabanındaki karşılığını bulmak, yani bu sayıyı çözümlemek için, taban olan p sayısı, yukarıdaki açılımda 10 sayısının kullanıldığı gibi kullanılır. Örneğin ( 37,254 )8 = 3 . 8 + 7 + 2 . 8-1 + 5 . 8-2 + 4 . 8-3 = 31,3359375 olur.

    ( ab,cde )p = a.p + b + c.p-1 + d.p-2 + e.p-3
     
  2. ~meLek~
    Cadı

    ~meLek~ GalataSaray'ım

    Katılım:
    15 Temmuz 2013
    Mesajlar:
    3.052
    Beğenileri:
    188
    Ödül Puanları:
    3.330
    Cinsiyet:
    Bayan
    Meslek:
    Öğrenci (:
    Yer:
    Napcan geLcenmi ki?
    Banka:
    109 ÇTL
    TABAN ARITMETIGI

    HerhangI bIr sayi sIstemInden Onluk sayi sIstemIne geçIs:
    Herhangi bir sayi sisteminden Onluk sayi sistemine geçebilmek için, basamak (hane) çözümlemesi yapilmalidir. n, bir sayi sisteminin tabanini göstermek üzere n = 2 olacak sekilde bir dogal sayi ise, (abcde)n sayisi onluk sayi sistemine söyle dönüstürülür:

    Dogaldir ki, sayi sistemlerinin özelligine göre, sayiyi olusturan rakamlar daima tabandan küçük olmalidir.
    Örnek: (1234)5 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim.

    Örnek: (10110)2 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim.

    Örnek: (218)9 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim.
    81 9 1
    ( 2 1 8 )9 = 92.2 + 91.1 + 90.8
    = 81.2 + 9.1 + 1.8
    = 162 + 9 + 8
    = 179
    Örnek: (305)7 = ( ? )10 taban dönüsümünü yapalim.
    49 7 1
    ( 3 0 5)7 = 72.3 + 71.0 + 70.5
    = 49.3 + 7.0 + 1.5
    = 147 + 0 + 5
    = 152
    Onluk sayi sIstemInden DIger sayi sIstemlerIne geçIs:
    Onluk tabandaki bir sayi diger tabanlara çevrilirken geçilmesi istenen taban hangi taban ise, onluk tabandaki sayi o sayiya bölünmelidir. Bölme islemi, bölümdeki sayi taban sayisindan küçük olana kadar yapilmalidir. Yeni tabandaki sayi, en sondan baslanarak önce bölüm sonra da kalanlar sirasiyla yazilarak elde edilir.
    Örnek: (194)10 = ( ? )5 taban dönüsümünü yapalim.

    Örnek: (179)10 = ( ? )9 taban dönüsümünü yapalim.

    Onluk taban disindakI bIr tabandan baska bIr tabana geçIs:
    Verilen sayi önce Onluk tabana çevrilir. Sonra da Onluk tabandaki sayi, geçilmek istenen tabana dönüstürülür. Yani, n verilen taban ve m istenen taban ise, dönüsümün mantigi su sekildedir:

    Örnek: (132)5 = ( ? )8 taban dönüsümünü yapalim.
    Önce 5 tabanindaki 132 sayisini Onluk tabana çevirelim.
    25 5 1
    ( 1 3 2 )5 = 52.1 + 51.3 + 50.2 = 25.1 + 5.3 + 1.2 =25 + 15 + 2 = 42
    Simdi de Onluk tabandaki 42 sayisini 8 tabanina çevirelim.

    Böylece, (132)5 = (52)8 olarak bulunur.
    Örnek: (1011)2 = ( ? )7 taban dönüsümünü yapalim.
    Önce 2 tabanindaki 1011 sayisini Onluk tabana çevirelim.
    8 4 2 1
    ( 1 0 1 1 )2 = 23.1 + 22.0 + 21.1 + 20.1 = 8.1 + 4.0 + 2.1 + 1.1
    = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
    Simdi de Onluk tabandaki 11 sayisini 7 tabanina çevirelim. 11 sayisini, 7 ye böldügümüzde, bölüm 1 ve kalan da 4 olacagindan,
    (11)10 = (14)7

    sonucunu elde ederiz. Dolayisiyla, (1011)2 = (14)7 olarak bulunur.
    Onluk taban disindakI tabanlardakI sayilarin teklIgI veya çIftlIgI:
    Sayinin tabani çift ise, sayinin son rakamina (birler basamagindaki rakamina) bakilarak karar verilir. Sayet sayinin son rakami çift ise, sayi çifttir. Sayet sayinin son rakami tek ise, sayi tektir. Örnegin, (12345)8 = Tek, (1236)8 = Çift olur.

    Sayinin tabani tek ise, sayinin rakamlari toplamina bakilarak karar verilir. Sayet sayinin rakamlari toplami çift ise, sayi çifttir. Sayet sayinin rakamlari toplami tek ise, sayi tektir. Örnegin, (234)7 = Tek, (2361)7 = Çift olur.

    Onluk taban disindakI tabanlarda arItmetIk Islemler:
    Toplama IslemI:
    Örnek: (101)2 + (11)2 = ( ? )2
    ( 1 0 1 )2
    + ( 1 1 )2
    __________
    ( 1 0 0 0 )2

    Ikilik tabanda 1 ile 1 in toplami 10 dir. Dolayisiyla, ilgili basamaga 0 yazilir ve 1 sayisi bir önceki basamaga eklenir.

    Örnek: (234)5 + (143)5 = ( ? )5
    Birler basamaginin toplami, 4 + 3 = 7 dir. 7, 5 tabaninda 12 dir. Dolayisiyla, birler basamagina 2 yazip, besler basamagina 1 ekleriz.

    Besler basamaginin toplami, 3 + 4 + 1 (birler basamagindan eklenen) = 8 olur. 8, 5 tabaninda 13 tür. Dolayisiyla, besler basamagina 3 yazip, yirmibesler basamagina 1 ekleriz.

    Yirmibesler basamaginin toplami, 2 + 1 + 1 (besler basamagindan eklenen) = 4 olarak bulunur.
    Sonuç olarak, toplam (432)5 olur.
    Çikarma IslemI:

    Örnek: (132)5 - (23)5 = ( ? )5
    Birler basamaginin farki, 2 den 3 çikartilamayacagi için, besler basamagindan 1 alinmalidir (yani, 5 alinmalidir). Bu durumda, 7 den 3 çikartilarak 4 bulunur.
    Besler basamagindan 1 alindigi için, burada 2 kalmistir. Böylece, 2 den 2 çikartildiginda 0 kalir.
    Yirmibesler basamagindaki 1 sayisindan birsey çikartilmadigi için aynen alinir.
    Sonuç olarak, fark (104)5 bulunur.
     

Sayfayı Paylaş