1. * 5651 Sayılı Kanun'a göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur.
    * Telif hakkına konu olan eserlerin yasal olmayan şekilde paylaşıldığını ve yasal haklarının çiğnendiğini düşünen hak sahiplerinin İLETİŞİM bölümünden bize ulaşmaları durumunda ilgili şikayet incelenip gereği 1 (bir) hafta içinde gereği yapılacaktır.
    E-posta adresimiz

Taylor Serisi

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve Suskun tarafından 6 Eylül 2011 başlatılmıştır.

  1. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    Taylor Serisi

    Taylor serisi matematikte, bir fonksiyonun, o fonksiyonun terimlerinin tek bir noktadaki türev değerlerinden hesaplanan sonsuz toplamı şeklinde yazılması şeklindeki gösterimi/açılımıdır. Adını İngiliz matematikçi Brook Taylor'dan almıştır. Eğer seri sıfır merkezli ise (a = 0), Taylor serisi daha basit bir biçime girer ve bu özel seriye İskoç matematikçi Colin Maclaurin'e istinaden Maclaurin serisi denir. Bir serinin terimlerinden sonlu bir sayı kadarını kullanmak, bu seriyi bir fonksiyona yakınsamak için genel bir yöntemdir. Taylor serisi, Taylor polinomunun limiti olarak da görülebilir.
    [​IMG]

    Taylor çokterimlisinin derecesi arttıkça, doğru fonksiyona gittikçe yaklaşır. Bu çizim, sinx (sinüs fonksiyonunu, siyah ile) ve çeşitli derecelerden Taylor açılımlarını (1, 3, 5, 7, 9, 11 ve 13) gösteriyor.



    [​IMG]
    Üstel fonksiyon (maviyle gösterilen) ve bu fonksiyonun a=0 değerindeki Taylor serisinin ilk n+1 teriminin toplamı (kırmızıyla gösterilen).


    Her dereceden türevli, gerçel ya da karmaşık bir f(x) fonksiyonunun a gerçel ya da karmaşık bir sayı olmak üzere (a − r,a + r) aralığındaki Taylor serisi şu şekilde tanımlanmıştır:

    [​IMG]

    Daha düzenli bir gösterim olan Sigma gösterimiyle ise şu şekilde yazılır:

    [​IMG]

    Burada n!, n faktöriyeli; ƒ (n)(a) ise f fonksiyonunun n. dereceden türevinin a noktasındaki değerini belirtmektedir. f fonksiyonunun sıfırıncı dereceden türevi f' in kendisiyle tanımlanmıştır ve (x − a)0 ve 0!, 1'e eşit olarak kabul edilmiştir.

    Maclaurin serisi

    a=0 özel durumunda seri, Maclaurin serisi olarak adlandırılır:

    [​IMG]

    Örnekler

    Herhangi bir çokterimlinin Maclaurin serisi, kendisidir.

    x-1 için Maclaurin serisi,

    [​IMG] geometrik serisidir.

    x-1 fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi de,

    [​IMG] dir.

    Yukarıdaki Maclaurin serisinin integralini alarak −ln(1 − x) fonksiyonunun Maclaurin serisini buluruz: (burada ln doğal logaritmayı ifade eder)

    [​IMG]

    Ve bu seriye ilişkin ln(x) fonksiyonunun a=1 değerindeki Taylor serisi ise,

    [​IMG] dir.

    a = 0 noktasında ex üstel fonksiyonu için Taylor serisi:),


    [​IMG] dir.

    ex'in x'e göre türevi yine ex 'e ve e0 de 1'e eşit olduğundan yukarıdaki açılım sadeleşir. Bu sadeleşme sonucunda da sonsuz toplamdaki her terimin payında (x − 0)n terimi, paydasındaysa n! terimi kalır.
     
  2. Suskun

    Suskun V.I.P V.I.P

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.242
    Beğenileri:
    276
    Ödül Puanları:
    6.230
    Yer:
    Türkiye
    Banka:
    2.052 ÇTL
    Yakınsaklık

    [​IMG]
    Pembeyle çizilmiş, orijin merkezli sinüs fonksiyonunun yedinci dereceden Taylor çokterimlisininin bir periyodunun çizimi, maviyle çizilmiş sinüs fonksiyonuna gittikçe yaklaşır.


    [​IMG]
    log(1+x) için Taylor çokterimlisi sadece −1 < x ≤ 1 aralığında hassas ve doğru bir şekilde yaklaşır. x > 1 için daha yüksek dereceden Taylor çokterimlilerinin daha kötü yaklaşıklıklar vereceğini unutmayınız.

    Her fonksiyonun Taylor serisi yakınsak olmak zorunda değildir. Yakınsak Taylor serili fonksiyonlar kümesi, bir düz fonksiyonların Frechet uzayında bir eksik kümedir. Bu fonksiyonların dışında, genelde sözü geçen çoğu fonksiyonun Taylor serisi yakınsamaz.

    Bir f fonksiyonunun yakınsak Taylor serisinin limiti genelde f(x)'in fonksiyon değerine eşit olmak zorunda olmamasına rağmen pratikte eşittir. Örneğin;

    [​IMG]

    fonksiyonu x=0'da sonsuz türevlidir ve bu noktadaki tüm türevleri sıfırdır.

    Analitik fonksiyonlar


    [​IMG]
    e −1/x²'nin grafiği.

    Eğer seri belirtilen aralıktaki her x noktasında f(x)'e yakınsıyorsa f(x) analitik bir fonksiyon olarak adlandırılır. Her sonsuz türevlenebilir fonksiyon analitik değildir. Örneğin, f(x) =e −1/x², x ≠ 0 ve f(0) = 0 fonksiyonunun Taylor serisi sıfıra denktir ancak fonksiyonun kendisi sıfırdan farklıdır.

    Kullanım Alanları

    Taylor serileri, fonksiyonların (ör. logaritma) verilen bir noktadaki sayisal değerlerini bulmak için kullanılabilirler. Buna ek olarak, türev ya da integral de işlemleri seriye açılıp daha kolay işlem yapılabimektedir
     

Sayfayı Paylaş